MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 194

a) Mamy $S=32$ i $S_4=S(1-q^4)=30$, zatem $q^4=\frac1{16}$ i $q=\pm\frac12$. Ze wzoru $a_1=S(1-q)$ dostajemy odpowiednio $a_1=16$ lub $a_1=48$.

b) Warunki $a_1q=6$ oraz $\frac{a_1}{1-q}=27$ prowadzą do równania $a_1^2-27a_1+162=0$. Stąd $a_1=9$ albo $18$, a odpowiednio $q=\frac23$ albo $\frac13$.

W obu podpunktach zależność $a_{n+1}=qa_n$ ma stały iloraz, więc ciąg jest geometryczny.

a) $q=\frac34$. Dodatnie wyrazy maleją do zera, a $S=\frac4{1-3/4}=16$.

b) $q=\frac25$. Ujemne wyrazy rosną do zera, a $S=\frac{-3}{1-2/5}=-5$.

a) Pierwszy wyraz to $1$, a iloraz $q=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$. Zatem $S=\frac1{1-\sqrt3/2}=4+2\sqrt3$.

b) Pierwszy wyraz to $\sqrt5+2$, a $q=\frac{1/2}{\sqrt5+2}=\frac{\sqrt5-2}{2}$. Stąd $S=\frac{\sqrt5+2}{1-(\sqrt5-2)/2}=\frac{12\sqrt5+26}{11}.$

Warunkiem zbieżności jest $|q|<1$.

a) Nierówność $|\frac{x-2}{3x+1}|<1$ jest równoważna $(x-2)^2<(3x+1)^2$, czyli $(-2x-3)(4x-1)<0$. Otrzymujemy $x<-\frac32$ lub $x>\frac14$.

b) $|x^2-4x-5|<1$ daje $8<(x-2)^2<10$, czyli dwa przedziały między odległościami $2\sqrt2$ i $\sqrt{10}$ od liczby $2$.

c) $|\sin x|<1$ zachodzi poza punktami, w których sinus jest równy $\pm1$.

Wyznaczamy pierwszy wyraz i iloraz, narzucamy $|q|<1$, a następnie stosujemy $S=\frac{a_1}{1-q}$.

a) $a_1=2$, $q=4x$, więc $|x|<\frac14$ i $S=\frac2{1-4x}$.

b) $a_1=x^2$, $q=\frac{\sqrt2}{x}$, więc $|x|>\sqrt2$ i $S=\frac{x^3}{x-\sqrt2}$.

c) $a_1=-2$, $q=x^2-4$, więc $3<x^2<5$ i $S=\frac2{x^2-5}$.

d) $a_1=-1$, $q=\frac{5-x}{x+2}$. Warunek zbieżności daje $x>\frac32$, a $S=\frac{x+2}{3-2x}$.

Najpierw zapisujemy sumę szeregu i pamiętamy o warunku $|q|<1$.

a) $q=\frac2x$, więc $|x|>2$, a równanie $\frac{2x^2}{x-2}=5x+3$ daje kandydatów $3$ i $-\frac23$. Warunek zostawia $x=3$.

b) $q=-\frac2x$, więc $|x|>2$. Równanie $\frac{x^2}{x+2}=\frac{6x}{x+5}$ daje $x=-3$ lub $x=4$; oba spełniają warunki.

c) $q=x-2$, więc $1<x<3$. Po podstawieniu sumy $\frac{x-2}{3-x}$ jedynym rozwiązaniem w tym przedziale jest $x=2$.

d) Dla $c=\cos x$ warunek to $|c|<1$, a równanie $\frac c{1+c}=1-\frac43c$ daje $4c^2+4c-3=0$. Dopuszczalne jest tylko $c=\frac12$.

W każdym podpunkcie łączymy warunek $|q|<1$ z nierównością $\frac{a_1}{1-q}>10$.

a) Z $|2x|<1$ i $\frac5{1-2x}>10$ otrzymujemy $\frac14<x<\frac12$.

b) Zbieżność wymaga $-2<x<0$. Wtedy $S=\frac3x<0$, więc nie może być większa od $10$.

c) Zbieżność wymaga $|x|<1$. Nierówność $\frac2{1-x^2}>10$ daje $x^2>\frac45$.

Sumujemy szeregi i jednocześnie zapisujemy warunek $|q|<1$.

a) $q=\frac x2$, więc $D=(-2;2)$ i $f(x)=\frac2{2-x}$. Mianownik jest w dziedzinie dodatni, zatem $f(x)>0$ na całej dziedzinie.

b) $q=-\frac x3$, więc $D=(-3;3)$ i $f(x)=-\frac{x}{x+3}$. W dziedzinie mianownik jest dodatni, zatem $f(x)>0$ dla $x<0$.

c) $q=\frac5x$, więc $D=(-\infty;-5)\cup(5;\infty)$ i $f(x)=\frac{x}{x-5}$. Iloraz jest dodatni na obu częściach dziedziny.

d) $q=-\frac2x$, więc $D=(-\infty;-2)\cup(2;\infty)$ i $f(x)=-\frac{x}{x+2}$. Na obu częściach dziedziny wartości są ujemne.

Wykresy otrzymujemy przez ograniczenie odpowiednich hiperbol do podanych dziedzin; końce przedziałów nie należą do wykresów.