MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 193

Stosujemy wzór $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$, a ponieważ w każdym podpunkcie $|q|<1$, suma szeregu to $S=\frac{a_1}{1-q}$.

a) $a_1=1$, $q=\frac14$, więc $S_n=\frac43(1-(\frac14)^n)$ i $S=\frac43$.

b) $a_1=1$, $q=-\frac15$, więc $S_n=\frac56(1-(-\frac15)^n)$ i $S=\frac56$.

c) $a_1=1$, $q=-0{,}1$, więc $S_n=\frac{10}{11}(1-(-0{,}1)^n)$ i $S=\frac{10}{11}$.

d) $a_1=\sqrt2$, $q=\frac1{\sqrt2}$, więc $S_n=(2\sqrt2+2)(1-(\frac{\sqrt2}{2})^n)$ i $S=2\sqrt2+2$.

Korzystamy ze wzoru $S=\frac{a_1}{1-q}$.

a) $S=\frac{-9}{1-2/3}=-27$.

b) $S=\frac{5{,}4}{1-0{,}1}=6$.

c) $S=\frac2{2-\sqrt2}=2+\sqrt2$.

d) $S=\frac{2\sqrt6}{1+\sqrt3/3}=3(\sqrt6-\sqrt2)$.

Ilorazy wynoszą kolejno $\frac12$, $\frac25$, $-\frac23$, $\frac1{10}$, $-\frac1{\sqrt5}$ i $\frac34$. Każdy ma moduł mniejszy od $1$, więc szeregi są zbieżne. Ze wzoru $S=\frac{a_1}{1-q}$ otrzymujemy:

a) $S=24$; b) $S=-\frac{125}{3}$; c) $S=\frac{81}{5}$; d) $S=\frac{40}{9}$; e) $S=\frac54(1-\sqrt5)$; f) $S=0{,}64$.

Wyznaczamy $q=a_2/a_1$ i sprawdzamy warunek $|q|<1$.

a) $q=\frac78$, więc szereg jest zbieżny i $S=\frac8{1-7/8}=64$.

b) $q=\frac{5\sqrt2}{7}$ ma moduł większy od $1$, więc szereg jest rozbieżny.

c) $q=\frac4{\sqrt5+\sqrt3}>1$, bo $(\sqrt5+\sqrt3)^2<16$; szereg jest rozbieżny.

d) $q=\frac{\sqrt2}{2}$, więc szereg jest zbieżny i $S=\frac{\sqrt3-\sqrt6}{1-\sqrt2/2}=-\sqrt6$.

Długości boków tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $1$ i ilorazie $0{,}9$.

a) Obwody mają pierwszy wyraz $4$ i iloraz $0{,}9$, więc ich suma wynosi $\frac4{1-0{,}9}=40$.

b) Pola mają pierwszy wyraz $1$ i iloraz $0{,}9^2=0{,}81$, więc ich suma wynosi $\frac1{1-0{,}81}=\frac{100}{19}$.

Ze wzoru $S=\frac{a_1}{1-q}$ mamy $q=1-\frac{a_1}{S}$ albo $a_1=S(1-q)$.

a) $q=1-\frac{0{,}1}{0{,}3}=\frac23$.

b) $a_1=-1(1+0{,}9)=-1{,}9$.

c) $q=1-\frac{-\sqrt5}{1-\sqrt5}=\frac{-1-\sqrt5}{4}$.

d) $a_1=-\sqrt3(1-\frac{\sqrt3}{2})=\frac{3-2\sqrt3}{2}$.

e) $a_1=(k+1)(1-k)=1-k^2$.

f) $q=1-\frac{k}{2k}=\frac12$.

Część okresową zapisujemy jako zbieżny szereg geometryczny. Dla liczby z $r$ cyframi okresu iloraz wynosi $10^{-r}$; część nieokresową dodajemy osobno.

a) $\frac{0{,}4}{1-0{,}1}=\frac49$.

b) $\frac{0{,}7}{1-0{,}1}=\frac79$.

c) $0{,}0(9)=0{,}1=\frac1{10}$.

d) $2{,}4(5)=\frac{12}{5}+\frac1{18}=\frac{221}{90}$.

e) $0{,}(50)=\frac{50}{99}$.

f) $1{,}2(34)=\frac65+\frac{34}{990}=\frac{611}{495}$.

g) $-1{,}(027)=-(1+\frac{27}{999})=-\frac{38}{37}$.

h) $-2{,}(5445)=-(2+\frac{5445}{9999})=-\frac{257}{101}$.