MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 192

Usuwamy niewymierność z mianownika:

Po wyłączeniu $2^n$ z sumy pierwiastków i $4^n$ z mianownika część niezależna od $a$ jest asymptotyczna do $-2^{-n}$. Zatem $a_n\sim-(a/2)^n$.

Dla $a=1$ otrzymujemy granicę $0$, dla $a=2$ granicę $-1$, a dla $a=4$ granicę $-\infty$.

Oznaczmy $u_n=\sqrt[3]{n^3+2n^2-1}$. Korzystamy z tożsamości $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:

Po podzieleniu przez $n^2$ mamy $u_n/n\to1$, więc granica wynosi $\frac{1+1+1}{-2}=-\frac32.$

Dla $k\ne1$ granica ciągu wynosi $\frac{k}{k-1}$. Warunek $\frac{k}{k-1}=k$ jest równoważny $k(k-2)=0$, więc daje $k=0$ lub $k=2$.

Dla wyłączonej wartości $k=1$ mamy $a_n=n^2-2\to\infty$, a nie $1$.

Jeżeli $k\ne\pm2$, granica wynosi $\frac{k-1}{k^2-4}$.

a) Licznik ma niższy stopień tylko dla $k=1$; wtedy granica jest równa $0$.

b) Równanie $\frac{k-1}{k^2-4}=1$ daje $k^2-k-3=0$, czyli $k=\frac{1\pm\sqrt{13}}2$.

c) Dla $k=-2$ mianownik jest stały równy $-2$, a licznik dąży do $-\infty$, więc iloraz dąży do $\infty$.

d) Dla $k=2$ mianownik jest równy $-2$, a licznik dąży do $\infty$, więc iloraz dąży do $-\infty$.

Rozkładamy współczynniki: $k^2-4=(k-2)(k+2),\qquad k^2+5k+6=(k+2)(k+3).$ Dla k\notin\{-3,-2} granica wynosi $\frac{k-2}{k+3}$. Dla $k=-2$ licznik jest zerowy, więc granica wynosi $0$. Wartość $k=2$ także daje $0$. Dla $k=-3$ mianownik jest stały równy $10$, a licznik $5n$, więc granicą jest $\infty$.

a) Dla $k\ne0$ granica wynosi $\frac{2-k}{3k}$. Równanie $\frac{2-k}{3k}=5$ daje $2=16k$, czyli $k=\frac18$.

b) Granica może być niewłaściwa tylko wtedy, gdy $k^2-1=0$. Dla $k=1$ iloraz dąży do $\infty$, a dla $k=-1$ ma postać $\frac{-n^2-1}{3}$ i dąży do $-\infty$.

a) Dla $k\ne1$ licznik i mianownik mają ten sam stopień, więc granica jest skończona. Dla $k=1$ otrzymujemy $a_n=\frac n3\to\infty$.

b) Wartość $k=0$ nie określa ciągu. Dla $k\ne0$ mamy $a_n\sim\frac{k-1}{k}n$, więc granicą jest $\infty$ dokładnie wtedy, gdy $\frac{k-1}{k}>0$, czyli dla $k<0$ lub $k>1$.

c) Ponieważ $2+4+\ldots+2n=n(n+1)$, mamy $a_n\sim n^{k-2}$. Dla naturalnego $k$ granicą jest $\infty$ dokładnie przy $k\ge3$.

Gdy $|8k^2-2|>0$ i $2k^2+3k\ne0$, iloraz jest asymptotyczny do $\frac{|8k^2-2|}{k(2k+3)}n.$ Licznik współczynnika jest dodatni, więc granicą jest $-\infty$ wtedy, gdy $k(2k+3)<0$, czyli $-\frac32<k<0$.

Trzeba wyłączyć $k=-\frac12$, dla którego znika składnik kwadratowy licznika i granica jest skończona. Wartości brzegowe $k=-\frac32$ i $k=0$ dają $\infty$, a $k=\frac12$ także nie spełnia warunku.

Iloraz ciągu geometrycznego wynosi $q=4\sin x-1$. Granica niewłaściwa istnieje dokładnie dla $q>1$; przy $q<-1$ znaki wyrazów zmieniałyby się naprzemiennie.

Warunek $4\sin x-1>1$ jest równoważny $\sin x>\frac12$. W przedziale $(0;\pi)$ zachodzi to dla $\frac\pi6<x<\frac{5\pi}6$.