MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 191

Korzystamy z ograniczenia składnika oscylującego.

a) $n-1\le n+(-1)^n\le n+1$, więc granicą jest $\infty$.

b) $(-1)^n-n^2\le1-n^2\to-\infty$.

c) $n\sqrt n-1\le n\sqrt n-\sin(n\sqrt n)$, a lewa strona dąży do $\infty$.

d) $\cos(-n^2)-n^2\le1-n^2\to-\infty$.

a) Po rozwinięciu $a_n=n^2-n-1\to\infty$, a $b_n=n-\sqrt n+1\to\infty$. Dzieląc licznik i mianownik $c_n$ przez $n$, widzimy, że $c_n\sim n$, więc $c_n\to\infty$.

b) $a_n=1-2^{n+1}\to-\infty$, a $b_n=3^n-2\cdot6^n\to-\infty$. Po podzieleniu ilorazu $c_n$ przez $6^n$ licznik dąży do $0$, a mianownik do $-2$, więc $c_n\to0$.

a) $a_n=\frac{n}{1+2/n}\to\infty$, natomiast $b_n=\frac1n-2n\to-\infty$. Stąd $c_n=a_n-b_n=a_n+2n-\frac1n\to\infty$.

b) $a_n=3\cdot2^n\to\infty$, a $b_n=2^n+3^{-n}\to\infty$. Różnica ma postać $c_n=2\cdot2^n-3^{-n}\to\infty$.

a) $a_n\to0$, $b_n\to\infty$, lecz iloczyn $c_n=2^n\to\infty$.

b) $a_n\to0$ i $b_n=4^n\to\infty$, natomiast $c_n=(-1)^n$ nie ma granicy.

c) $\sqrt[n]{9}\to1$, $n-n^2\to-\infty$, zatem ich iloczyn dąży do $-\infty$.

d) $\frac{n^2}{n^2+1}\to1$, $n+\frac1n\to\infty$, a ich dodatni iloczyn dąży do $\infty$.

a) Suma ciągu arytmetycznego w liczniku drugiego ułamka wynosi $1+4+\ldots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}2.$ Zatem $a_n=\frac{2n-1}{2}-\frac{n(3n-1)}{2(n+1)}=-\frac{(n-1)^2}{2(n+1)}\to-\infty.$

b) Korzystamy ze wzoru na sumę geometryczną: $1+4+\ldots+4^{n-1}=\frac{4^n-1}{3}=\frac{(2^n-1)(2^n+1)}3.$ Stąd $a_n=2^n-\frac{2^n-1}{3}=\frac{2^{n+1}+1}{3}\to\infty$.

Usuwamy niewymierność lub wyłączamy dominującą potęgę.

a) Wyrażenie jest asymptotyczne do $(\sqrt5-\sqrt3)\sqrt n$, więc dąży do $\infty$.

b) Po pomnożeniu przez wyrażenie sprzężone otrzymujemy $\frac{-6}{2n+\sqrt{4n^2+6}}\to0$.

c) $a_n=n\left(3-\sqrt{8+n^{-2}}\right)\to\infty$, bo $3-2\sqrt2>0$.

d) $a_n=\frac7{\sqrt{n^2+6}+\sqrt{n^2-1}}\to0$.

e) Po usunięciu niewymierności dostajemy $\frac{3n}{\sqrt{3n^2+5n}+\sqrt{3n^2+2n}}\to\frac{\sqrt3}{2}$.

f) $\sqrt{n^4-n^2}-n^2=\frac{-n^2}{\sqrt{n^4-n^2}+n^2}\to-\frac12$, a dodatkowy składnik $-1$ daje $-\frac32$.

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

a) $a_n=\frac{\sqrt{n+6}+\sqrt{n+2}}4\to\infty$.

b) $a_n=\frac{n(\sqrt{2n-1}+\sqrt{3n+1})}{-n-2}\to-\infty$.

c) $a_n=\frac{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}n\to2$.

d) $a_n=\frac{\sqrt n(\sqrt{n^2+6n}+\sqrt{n^2+3n})}{3n}\sim\frac23\sqrt n\to\infty$.

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$$\frac{a}{\sqrt{n+\sqrt n}-\sqrt{n-\sqrt n}} =\frac{a\left(\sqrt{n+\sqrt n}+\sqrt{n-\sqrt n}\right)}{2\sqrt n}.$$

Po wyłączeniu $\sqrt n$ otrzymujemy

$$\frac a2\left(\sqrt{1+\frac1{\sqrt n}}+\sqrt{1-\frac1{\sqrt n}}\right)\longrightarrow\frac a2(1+1)=a.$$

Równość zachodzi dla każdego rzeczywistego $a$.

Badamy moduł podstawy oraz parzystość wykładnika.

a) $|\sqrt3-3|>1$, a $n^2-n=n(n-1)$ jest parzyste. Wyrazy są dodatnie i ich moduły dążą do $\infty$.

b) $\frac1{\sqrt2-2}=-(1+\frac{\sqrt2}{2})$ ma moduł większy od $1$, a $n^2+n$ jest parzyste. Wyrazy dążą do $\infty$.

c) $\frac1{\sqrt3-2}=-(2+\sqrt3)$, a $n^2+n+1$ jest nieparzyste. Moduły rosną bez ograniczeń, a wszystkie wyrazy są ujemne.