MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 190

W wielomianie o granicy niewłaściwej decyduje składnik o najwyższej potędze i znak jego współczynnika.

a) $a_n=n(10-4n^2)\to-\infty$.

b) $a_n=n(3n^4-20)\to\infty$.

c) $a_n=n^3(100-5n^3)\to-\infty$.

d) $a_n=n^3\left(5-\frac1n-\frac9{n^3}\right)\to\infty$.

e) $a_n=n^4\left(-3+\frac9{n^2}+\frac8{n^4}\right)\to-\infty$.

f) $a_n=n^5\left(2-\frac7n+\frac1{n^4}\right)\to\infty$.

Porównujemy najwyższe potęgi po uproszczeniu wyrażeń.

a) $\frac{n^2+7}{n+3}\sim n$, więc granicą jest $\infty$.

b) $\frac{3n^3-2n^4}{3n+2n^2}\sim-n^2$, więc granicą jest $-\infty$.

c) $(n-1)^3-n^3=-3n^2+3n-1$, zatem iloraz jest asymptotyczny do $-\frac n3$.

d) Mianownik ma postać $3n^8+3n^{11}$, więc cały iloraz jest asymptotyczny do $\frac13n^4$.

e) $(n+3)(n-2)(n-1)-n^3=-7n+6$, a licznik ma stopień $2$ i dodatni współczynnik wiodący.

f) Iloraz upraszcza się do $\frac{2n^2+2}{4n}=\frac n2+\frac1{2n}$.

Wyłączamy potęgę o największej podstawie.

a) $6^n-3^n=6^n\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)\to\infty$.

b) $5\cdot2^n-10^n=10^n\left(5\left(\frac15\right)^n-1\right)\to-\infty$.

c) Po wyłączeniu $4^n$ nawias dąży do $3$, więc granicą jest $\infty$.

d) Wszystkie składniki są dodatnie, a już $11^n\to\infty$.

e) $2^n3^n-8^n=8^n\left(\left(\frac34\right)^n-1\right)\to-\infty$.

f) Wyrażenie pod pierwiastkiem to $8^n\left(1-2^{-n}-(\frac38)^n\right)\to\infty$, więc jego pierwiastek także dąży do $\infty$.

Obliczamy granicę danego ciągu i osobno jego odwrotności.

a) $n^2\to\infty$, zaś $n^{-2}\to0$.

b) $\frac n{n+1}\to1$, a $\frac{n+1}{n}\to1$.

c) $2^n\to\infty$, a $2^{-n}\to0$.

d) $\frac n{-n^2-1}\to0$ od strony ujemnej, natomiast $\frac1{a_n}=-n-\frac1n\to-\infty$.

e) Ponieważ $\sqrt2+2>1$, potęga dąży do $\infty$, a odwrotność do $0$.

f) $n^3+n^{-3}\to\infty$, zatem odwrotność dąży do $0$.

Dzielimy licznik i mianownik przez dominującą potęgę $n$.

a) Po podzieleniu przez $\sqrt n$ otrzymujemy $\frac{1-1/\sqrt n}{1+1/\sqrt n}\to1$.

b) Po podzieleniu przez $\sqrt n$ granica wynosi $\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2}$.

c) Dzielenie przez $n$ daje $\frac{2-1/\sqrt n}{3+1/\sqrt n}\to\frac23$.

d) Licznik jest rzędu $-n^2$, a mianownik rzędu $n^{5/2}$, więc granicą jest $0$.

e) Iloraz jest asymptotyczny do $-n^{1/3}$, zatem dąży do $-\infty$.

f) Po podzieleniu przez $n$ otrzymujemy $\frac{1-n^{-1/3}}{1+n^{-1/2}}\to1$.

W każdym ilorazie porównujemy składniki wykładnicze o największych podstawach.

a) Iloraz jest asymptotyczny do $(\frac52)^n$, więc dąży do $\infty$.

b) Iloraz jest asymptotyczny do $-(\frac63)^n=-2^n$, więc dąży do $-\infty$.

c) Iloraz jest asymptotyczny do $(\frac53)^n$, więc dąży do $\infty$.

d) Iloraz jest asymptotyczny do $(\frac87)^n$, więc dąży do $\infty$.

Ciąg $a_n=(-n)^n$ ma podciąg parzysty dążący do $\infty$ i nieparzysty dążący do $-\infty$.

Mamy $b_n=(-1)^n$, więc ciąg naprzemiennie przyjmuje wartości $-1$ i $1$.

Ponadto $c_n=4+(-2)^{n+1}$ ma dwa podciągi o przeciwnych granicach niewłaściwych.

Natomiast $d_n=4^n-2^{2n}=0$, więc jest zbieżny.