MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 189

Granica podciągu nieparzystego wynosi

$$\frac{2(3k+20)}{-2}=-(3k+20),$$

a podciągu parzystego $-(4k+k^2).$ Ciąg jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy te granice są równe:

$$3k+20=k^2+4k\iff k^2+k-20=0.$$

Stąd $k=-5$ lub $k=4$. Po podstawieniu otrzymujemy odpowiednio granice $-5$ i $-32$.

Dla $k\ne0$ mamy $\lim a_n=\frac3k,\qquad\lim b_n=\frac13.$ Podstawiamy te wartości do kolejnych równań.

a) $\frac3k+\frac13=4$, więc $k=\frac9{11}$.

b) $\frac3k-\frac13=4$, więc $k=\frac9{13}$.

c) $\frac3k\cdot\frac13=4$, więc $k=\frac14$.

d) $\frac{3/k}{1/3}=4$, więc $k=\frac94$.

Obliczamy osobno granice trzech składników:

$$2(k^2+2),\qquad \frac{3-5k}{4},\qquad \frac{7k+27}{4}.$$

Trzeci składnik jest odejmowany, więc

$$\lim a_n=2(k^2+2)+\frac{3-5k}{4}-\frac{7k+27}{4}=2k^2-3k-2.$$

Granica jest ujemna, gdy $2k^2-3k-2<0.$ Pierwiastki trójmianu to $-\frac12$ i $2$, a współczynnik przy $k^2$ jest dodatni.

a) Dla ciągu arytmetycznego

$$S_n=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr),\qquad a_n=a_1+(n-1)r.$$

Po podzieleniu licznika i mianownika ilorazu $S_n/a_n^2$ przez $n^2$ otrzymujemy

$$\lim\frac{S_n}{a_n^2}=\frac{r/2}{r^2}=\frac1{2r},$$

bo $r\ne0$.

b) Dziesięć początkowych wyrazów o indeksach podzielnych przez $3$ to $a_3,a_6,\ldots,a_{30}$. Warunki mają postać

$$5(2a_1+31r)=95,\qquad2a_1+7r=11.$$

Czyli $2a_1+31r=19$. Po odjęciu drugiego równania dostajemy $24r=8$, więc $r=\frac13$. Szukana granica wynosi $\frac1{2r}=\frac32$.

Niech bok trójkąta ma długość $a$, a promień każdego koła w $n$-tym kroku będzie równy $r_n$. Wzdłuż boku leży $n$ kół. Odległość środka skrajnego koła od wierzchołka, mierzona wzdłuż boku, wynosi $\sqrt3r_n$, a między środkami są $n-1$ odcinki długości $2r_n$. Zatem

$$a=2\sqrt3r_n+2(n-1)r_n,\qquad r_n=\frac{a}{2(n-1+\sqrt3)}.$$

Liczba kół jest równa $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$. Ponieważ $S=\frac{\sqrt3}{4}a^2$, mamy

$$\frac{S_n}{S} =\frac{\frac{n(n+1)}2\pi r_n^2}{\frac{\sqrt3}{4}a^2} =\frac{\pi n(n+1)}{2\sqrt3\,(n-1+\sqrt3)^2}.$$

Dzieląc licznik i mianownik przez $n^2$, otrzymujemy

$$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{S}=\frac{\pi}{2\sqrt3}=\frac{\pi\sqrt3}{6}.$$