MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 186

Korzystamy z podstawowych granic $n^{-p}\to0$ dla $p>0$.

a) $\frac2{n^2}\to0$.

b) $5-\frac2{n^2}\to5$.

c) $-2+\frac1{\sqrt n}\to-2$.

d) $4+\frac1{n^3}\to4$.

e) $\frac{3+n^2}{n^2}=1+\frac3{n^2}\to1$.

f) Licznik $(-1)^n+(-1)^{n+1}$ jest równy $0$, więc cały ciąg jest stale równy $0$.

Dla każdej podstawy $q$ o $|q|<1$ zachodzi $q^n\to0$.

a) $(\frac12)^n-3\to-3$.

b) $(\frac23)^n+2\to2$.

c) $0{,}9^n+1\to1$.

d) Dzielimy przez $2^n$: $\frac{5\cdot2^n-1}{2^n}=5-2^{-n}\to5.$

W każdym ilorazie dzielimy przez najwyższą potęgę $n$ występującą w mianowniku. O granicy decyduje iloraz współczynników przy najwyższych potęgach:

a) $\frac2{-2}=-1$; b) $\frac42=2$; c) $\frac{-5}{-2}=\frac52$; d) $\frac63=2$; e) $\frac{-7}{1}=-7$;

f) $\frac{-4}{3}=-\frac43$; g) $\frac5{-2}=-\frac52$; h) $\frac2{-6}=-\frac13$; i) $\frac{-8}{6}=-\frac43$.

W każdym podpunkcie stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Po podzieleniu przez najwyższą potęgę mianownika wszystkie składniki licznika dążą do zera, a mianownik do niezerowego współczynnika wiodącego:

a) dzielimy przez $n^8$; b) przez $n^4$; c) przez $n^9$. W każdym przypadku granica wynosi $0$.

Porównujemy iloczyny współczynników wiodących poszczególnych czynników.

a) $\frac{6\cdot4}{2\cdot3}=4$.

b) $\frac{(-5)\cdot3}{(-10)\cdot1}=\frac32$.

c) $\frac{5^2}{1^2}=25$.

d) $\frac{1^2}{(-2)^2}=\frac14$.