MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 185

Jedno ustalone ograniczenie nie wystarcza do stwierdzenia granicy niewłaściwej.

a) Na przykład ciąg stały $a_n=1\,000\,002$ spełnia warunek, ale jest zbieżny do $1\,000\,002$.

b) Na przykład ciąg stały $b_n=-1\,000\,001$ spełnia warunek, ale ma skończoną granicę. (W treści drugiego pytania oznaczenie $(a_n)$ jest oczywistą literówką; chodzi o $(b_n)$.)

Dla ciągu geometrycznego o ilorazie $q$ zachodzi $\frac{a_{n+2}}{a_n}=q^2=3,$ więc $q=\sqrt3$ albo $q=-\sqrt3$.

a) Dla $q=\sqrt3$ i $a_1>0$ ciąg dąży do $\infty$.

b) Dla $q=\sqrt3$ i $a_1<0$ ciąg dąży do $-\infty$.

c) Dla $q=-\sqrt3$ znaki zmieniają się naprzemiennie, a moduły rosną, więc ciąg nie ma granicy niewłaściwej.

Niech $M>0$. Ponieważ $(-1)^n\ge-1$, mamy $a_n=n+(-1)^n\ge n-1.$ Wybierzmy liczbę naturalną $k>M+1$. Dla każdego $n>k$ zachodzi $n-1>M$, a stąd $a_n>M$. Definicja granicy niewłaściwej daje więc $a_n\to\infty$.

Niech $M>0$. Wybierzmy liczbę naturalną $k$ większą od $\frac{M-2}{3}$. Jeżeli $n>k$, to $a_n>3n+2>3k+2>M.$ Zatem dla każdej liczby $M$ wszystkie wyrazy od pewnego miejsca przekraczają $M$, co jest definicją rozbieżności do $\infty$.

Współczynnik kierunkowy tego ciągu arytmetycznego wynosi $p^2-3p-4=(p+1)(p-4).$ Gdy jest dodatni, ciąg dąży do $\infty$; gdy ujemny — do $-\infty$; gdy równy zeru, ciąg jest stały. Badanie znaku iloczynu daje odpowiednie przedziały.

a) Dla indeksów nieparzystych $a_n=3^{-n}\to0$, natomiast dla parzystych $a_n=n\to\infty$. Skoro podciągi mają różne zachowanie, cały ciąg nie ma ani granicy skończonej, ani niewłaściwej.

b) Dla indeksów nieparzystych $a_n=\frac{n^2+1}{2}\to\infty$, a dla parzystych $a_n=n!\to\infty$. Dla każdego $M$ oba podciągi od pewnego miejsca przekraczają $M$, więc cały ciąg dąży do $\infty$.

Rozwiązujemy kolejno nierówności $a_n>M$ i $a_n>2M$ w dodatnich liczbach naturalnych.

a) $4n-5>1000$ daje $n\ge252$; $4n-5>2000$ daje $n\ge502$.

b) $0{,}01n^2-10>50$ daje $n^2>6000$, czyli $n\ge78$; dla $100$ otrzymujemy $n^2>11000$, czyli $n\ge105$.

c) $a_n=n^3+10$. Warunki $n^3+10>100$ i $n^3+10>200$ dają odpowiednio $n\ge5$ i $n\ge6$.

d) $n^4-100>10\,000$ daje $n^4>10\,100$, czyli $n\ge11$; dla $20\,000$ otrzymujemy $n\ge12$.