MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 187

W każdym podpunkcie wyłączamy potęgę o największej podstawie.

a) Po podzieleniu przez $2^n$ granica wynosi $\frac14$.

b) Po podzieleniu przez $3^n$ otrzymujemy $\frac12$.

c) Dzielimy przez $4^n$: $\frac{(3/4)^n+1}{1-(3/4)^n}\to1$.

d) Dzielimy przez $6^n$: $\frac{(5/6)^n+4}{(5/6)^n-1}\to-4$.

e) Dzielimy przez $7^n$ i dostajemy $\frac25$.

f) Dzielimy przez $8^n$; licznik dąży do $0$, a mianownik do $-3$, więc granica to $0$.

a) Dzielimy przez $(\sqrt8)^n$:

b) Ponieważ $(\sqrt3)^{2n}=3^n$, $(\sqrt2)^{2n}=2^n$, $(\sqrt4)^n=2^n$ i $(\sqrt9)^n=3^n$, mamy

Po podzieleniu przez $3^n$ granica wynosi $\frac13$.

Po wykonaniu wskazanego dzielenia otrzymujemy

Ponieważ $2^{-n}\to0$ i $a_n\to\frac12$, reguła granicy iloczynu daje $b_n=2^{-n}a_n\to0.$

Wyłączamy dominującą potęgę $n$ spod pierwiastków.

a) $\sqrt{n^2+1}\sim n$, a $\sqrt[3]{8n^3+n+2}\sim2n$, więc granica to $\frac12$.

b) $\sqrt[3]{n^3-2}\sim n$, a $\sqrt{4n^2-n+1}\sim2n$, więc granica to $\frac12$.

c) Licznik jest równy $\frac{n(n+1)}2\sim\frac12n^2$, a mianownik jest asymptotyczny do $5n^2$, więc granica wynosi $\frac1{10}$.

Warunki dla pierwszych dwóch wyrazów dają $\frac{a+2}{b+6}=1,\qquad \frac{2a+2}{2b+6}=\frac75.$ Pierwsze równanie ma postać $a-b=4$. Drugie po usunięciu mianowników daje $5a-7b=16$. Stąd $b=2$ i $a=6$. Zatem

Oznaczmy $A=\lim a_n$ i $B=\lim b_n$. Z warunków zadania otrzymujemy $3A+4B=3,\qquad4A+3B=18.$ Po rozwiązaniu układu mamy $A=9$ i $B=-6$. Zatem $\lim(a_n-b_n)=A-B=9-(-6)=15.$

Korzystamy ze wzorów $S_n=n(2n+1)=2n^2+n,\qquad T_n=\frac{3n(3n+1)}2=\frac92n^2+\frac32n.$ Następnie porównujemy współczynniki przy $n^2$.

a) $\frac2{9/2}=\frac49$.

b) $\frac{2+9/2}{1}=\frac{13}{2}$.

c) $\frac{2-9/2}{2\cdot9/2}=-\frac5{18}$.

d) $\frac{9/2+3\cdot2}{9/2-3\cdot2}=-7$.

Każdą sumę zapisujemy wzorem na sumę ciągu arytmetycznego i porównujemy składniki najwyższego stopnia.

a) Mianownik to $-n(n+2)$, zatem granica $\frac{n(n-2)}{-n(n+2)}=-1$.

b) Licznik ma postać $\frac{(n+1)(3n+2)}2$, więc stosunek współczynników wiodących wynosi $\frac{3/2}{6}=\frac14$.

c) Licznik to $4n^2-14n$, a mianownik $5n^2$, więc granica wynosi $\frac45$.

d) Licznik i mianownik mają ten sam współczynnik wiodący $\frac52$, więc granica wynosi $1$.

e) Licznik to $4n^2-2n$, mianownik $\frac{3n^2-n}{2}$, zatem granica to $\frac83$.

f) Licznik jest stopnia $3$, a kwadrat sumy w mianowniku stopnia $4$, więc granica wynosi $0$.