MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 184

Niech $M>0$.

a) Dla $a_n=0{,}01n+1$ nierówność $a_n>M$ zachodzi, gdy $n>100(M-1)$. Dla $b_n=\frac{n^2}{12}-3$ wystarczy $n>\sqrt{12(M+3)}$. W obu przypadkach od pewnego indeksu wszystkie wyrazy są większe od $M$, więc granicą jest $\infty$.

b) Aby wykazać granicę $-\infty$, trzeba uzyskać nierówność z $-M$. Dla $c_n=\frac18-8n$ warunek $c_n<-M$ zachodzi, gdy $n>\frac M8+\frac1{64}.$ Ponieważ $d_n=15-n^2$, warunek $d_n<-M$ zachodzi dla $n>\sqrt{M+15}$. Zatem oba ciągi dążą do $-\infty$.

Ze skanu widać, że $A$ i $B$ są dwoma różnymi miejscami zerowymi wielomianu, a punkt $C$ leży na prawo od nich i powyżej osi $Ox$. Ponieważ wielomian trzeciego stopnia ma dokładnie dwa różne pierwiastki, jeden z nich jest podwójny. Możemy więc zapisać $w(x)=c(x-x_1)(x-x_2)^2$ albo analogicznie zamienić role pierwiastków. Dla $x$ większych od obu pierwiastków znak $w(x)$ jest znakiem $c$. Punkt $C$ ma dodatnią rzędną, zatem $c>0$. Dodatni współczynnik wiodący wielomianu trzeciego stopnia daje $w(x)\to\infty$ dla $x\to\infty$, a więc także $w(n)\to\infty$.

W obu przypadkach odpowiedź jest przecząca.

a) Ciąg $a_n=n+(-1)^n$ dąży do $\infty$, bo $a_n\ge n-1$, lecz nie jest rosnący: na przykład $a_2=3>a_3=2$.

b) Ciąg $b_n=-n+(-1)^n$ dąży do $-\infty$, bo $b_n\le-n+1$, lecz nie jest malejący: $b_1=-2<b_2=0$.

Dla dodatniego całkowitego argumentu $n$ wszystkie liczby $n,n+1,\ldots,n+5$ są dodatnie. Stąd

Jest to ciąg arytmetyczny o dodatniej różnicy, więc $a_n\to\infty$.

Ciąg arytmetyczny ma postać $a_n=a_1+(n-1)r.$

a) Jeśli $r>0$, to dla dowolnego $M>0$ wystarczy wybrać indeks tak duży, by $(n-1)r>M-a_1$. Wtedy $a_n>M$, więc $a_n\to\infty$.

b) Jeśli $r<0$, zapisujemy $r=-|r|$. Dla dostatecznie dużego $n$ zachodzi $(n-1)|r|>M+a_1$, a więc $a_n=a_1-(n-1)|r|<-M$. Zatem $a_n\to-\infty$.