MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 183

a) Ponieważ $|-2^n n|=2^n n$, otrzymujemy $a_n=(-1)^n n.$ Podciąg parzysty dąży do $\infty$, a nieparzysty do $-\infty$.

b) Łącząc potęgi, mamy $a_n=(-2)^{(n+2)+n+(n+2)}=(-2)^{3n+4}.$ Moduły rosną bez ograniczeń, lecz znak zmienia się wraz z parzystością $n$. W obu podpunktach dwa podciągi mają przeciwne granice niewłaściwe, zatem cały ciąg nie ma granicy, także niewłaściwej.

Mamy $a_n=4-60n\to-\infty$, a nierówność $a_n>-1000$ daje $n<\frac{1004}{60}$, czyli $16$ wyrazów.

Po rozwinięciu $b_n=(n+2)^3-6(n+1)^2=n^3+2\to\infty,$ więc tego ciągu nie wybieramy.

Ponieważ $\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$, $c_n=-2^n\sqrt2\to-\infty.$ Warunek $c_n>-1000$ jest równoważny $2^n\sqrt2<1000$; zachodzi dla $n=1,\ldots,9$, lecz nie dla $n=10$.

a) Szukanym ciągiem arytmetycznym jest $c_n=30n+11$. Warunek $c_n<1000$ zachodzi dla $n=1,\ldots,32$. Zatem

b) Szukanym ciągiem jest $f_n=44-\frac34n$. Warunek $f_n>-1000$ zachodzi dla $n=1,\ldots,1391$. Stąd

a) Dla nieparzystych $n$ pierwszy wzór upraszcza się do $5^{(n-1)/2}$, a dla parzystych drugi wzór jest równy $(\sqrt5)^{n-1}$. Oba podciągi dążą do $\infty$, więc cały ciąg także.

b) Dla nieparzystych $n$ mamy $-(-5)^{n+1}=-5^{n+1}$, a dla parzystych $n$ mamy $-\frac15 5^n=-5^{n-1}$. Oba podciągi dążą do $-\infty$.

Ponieważ punkty ciągów należą do podanych wykresów, $a_n=f(n)=-3n-10$. Nierówność $-3n-10<-10\,000$ jest równoważna $n>3330$, zatem najmniejsze $k$ to $3330$.

Ponadto $g(x)=f(f(x))=-3(-3x-10)-10=9x+20,$ więc $b_n=9n+20$. Warunek $b_n>10\,000$ daje $n>\frac{9980}{9}$, czyli $n\ge1109$. Najmniejsze $k$, dla którego wszystkie $n>k$ spełniają warunek, to $1108$.

Dla ciągu arytmetycznego $S_n=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr).$ Warunki dają układ $2a_1+19r=137,\qquad 2a_1+29r=107.$ Po odjęciu równań otrzymujemy $10r=-30$, więc $r=-3$, a następnie $a_1=97$. Zatem $a_n=97-3(n-1)=100-3n\to-\infty.$