MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 182

Wraz ze wzrostem $n$ liczba $\sqrt n$ przekracza każdą ustaloną dodatnią granicę, natomiast $-\sqrt[3]n$ spada poniżej każdej ustalonej liczby ujemnej. Dokładniej, dla $M>0$ wystarczy odpowiednio wziąć $n>M^2$ oraz $n>M^3$.

Rozwiązujemy w każdym podpunkcie nierówność $a_n>M$ i wybieramy najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą.

a) $10n>1200$, więc $n>120$ i najmniejsze $n$ to $121$.

b) $6n-5>2000$, więc $n>\frac{2005}{6}$ i najmniejsze $n$ to $335$.

c) $\sqrt{n^2+5}>800$, czyli $n^2>639995$; najmniejsze $n$ to $800$.

d) $n^2+n>500$; dla $n=21$ mamy $462$, a dla $n=22$ już $506$.

Wyraz nie należy do $(M;\infty)$ dokładnie wtedy, gdy $a_n\le M$.

a) $13n-2\le500$ daje $n\le38$.

b) $4n^2-n\le600$ zachodzi dla $n\le12$.

c) Funkcja $n+\sqrt n$ rośnie; dla $n=968$ wartość jest mniejsza od $1000$, a dla $n=969$ większa, więc pasują indeksy $1,\ldots,968$.

d) $2^{10}=1024\le2000<2048=2^{11}$.

Wyraz nie należy do $(-\infty;M)$ dokładnie wtedy, gdy $a_n\ge M$.

a) $-50-12n\ge-300$ daje $n\le20$.

b) $-3n^2+n\ge-2000$ zachodzi dla $n\le25$.

c) $-\sqrt[3]n-80\ge-480$ daje $\sqrt[3]n\le400$, czyli $n\le64\,000\,000$.

d) $-(\frac32)^n\ge-10$ daje $(\frac32)^n\le10$; zachodzi to dla $n\le5$.

Sprowadzamy oba ciągi do potęg o stałej podstawie.

a)

więc $a_n=(3^{1/6})^n\to\infty$.

b) Ponieważ $4-\frac56=\frac{19}{6}$, mamy

Zatem $a_n=(\frac{19}{20})^n\to0$ i ten ciąg jest zbieżny.

W każdym wzorze decyduje nieograniczony składnik o podanym znaku: $\frac n4\to\infty$, $1-n\to-\infty$, $n^2+5\to\infty$, $-n^2+\frac1{10}\to-\infty$, $-0{,}01n^3\to-\infty$ oraz $\sqrt{n+1}-2\to\infty$.

Dla podstawy większej od $1$ dodatnia potęga dąży do $\infty$, a jej przeciwna wartość do $-\infty$.

a) $2^n\to\infty$.

b) $-4^n\to-\infty$.

c) $-(\sqrt3)^n\to-\infty$.

d) $(-2)^n$ ma podciąg parzysty dążący do $\infty$ i nieparzysty dążący do $-\infty$, więc nie ma jednej granicy niewłaściwej.