MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 181

Korzystamy z rozkładu

$$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}.$$

Z rekurencji dostajemy kolejno $a_1=1,\quad a_2=\frac12,\quad a_3=\frac13,\quad a_4=\frac14,\quad a_5=\frac15.$ Wzór $a_n=\frac1n$ spełnia warunek początkowy, a jeżeli zachodzi dla $n$, to

$$a_{n+1}=\frac1n-\frac1{n(n+1)}=\frac1{n+1}.$$

Zatem jest prawdziwy dla każdego $n\ge1$, a $\lim a_n=0$.

Niech $\varepsilon>0$.

a)

$$\left|\frac{2n}{n+1}-2\right|=\frac2{n+1}<\varepsilon$$

zachodzi, gdy $n>\frac2\varepsilon-1$. Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy leżą więc w odległości mniejszej niż $\varepsilon$ od $2$.

b)

$$\left|\frac{\sqrt n+1}{\sqrt n}-1\right|=\frac1{\sqrt n}<\varepsilon$$

zachodzi, gdy $n>\frac1{\varepsilon^2}$. To dowodzi obu tez bezpośrednio z definicji granicy.

Podana informacja dotyczy tylko jednego ustalonego otoczenia liczby $1$, nie zaś każdego dodatniego $\varepsilon$.

Zdanie I obala na przykład ciąg stały $a_n=0{,}9999$: spełnia warunek, lecz ma granicę $0{,}9999$.

Zdanie II obala na przykład ciąg $a_n=1+0{,}0001(-1)^n.$ Wszystkie jego wyrazy są odległe od $1$ o $0{,}0001<0{,}001$, ale podciągi parzysty i nieparzysty mają różne granice.

Możemy wykorzystać ciągi postaci „granica plus składnik dążący do zera”.

a) $a_n=6-\frac1n$ jest rosnący i dąży do $6$.

b) $a_n=\sqrt2+\frac1n$ jest malejący i dąży do $\sqrt2$.

c) $a_n=\pi+\frac{(-1)^n}{n}$ nie jest monotoniczny, bo wyrazy leżą naprzemiennie po obu stronach $\pi$, a jednocześnie $\frac{(-1)^n}{n}\to0$.