MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 180

Badamy osobno wyrazy parzyste i nieparzyste.

a) Jedna gałąź jest stale równa $1$, a druga spełnia $\sqrt[n]{3}\to1$. Granica wynosi $1$.

b) Obie potęgi mają podstawy o wartości bezwzględnej mniejszej od $1$, więc obie gałęzie dążą do $0$. Granica wynosi $0$.

c) Dla nieparzystych $n$ jest $\sqrt[n]{0{,}2}\to1$, a dla parzystych $1/\sqrt n\to0$. Różne granice podciągów oznaczają, ze ciąg nie ma granicy.

d) Zarówno $1/n^5$, jak i $1/n^{1/5}$ dążą do $0$, więc granica wynosi $0$.

Dla naturalnych $n$ mamy

$$a_n=2\sin(n\pi)=0, \qquad b_n=\tan\left(\frac\pi4+n\pi\right)=1.$$

Ponadto $|c_n|\le4/n\to0$. Jedyna dodatnia granica występuje zatem dla ciągu $(b_n)$ i jest równa $1$.

Podstawiamy odpowiednio $n=2k-1$ i $n=2k$.

a)

$$a_{2k-1}=1,\qquad a_{2k}=3.$$

b)

$$a_{2k-1}=-\frac{2k+2}{2k-1}\to-1, \qquad a_{2k}=\frac{2k+3}{2k}\to1.$$

c)

$$a_{2k-1}=-1,\qquad a_{2k}=1.$$

W każdym podpunkcie podciągi parzysty i nieparzysty mają różne granice, więc cały ciąg nie ma granicy.

Po $k$ naciśnięciach otrzymujemy $x^{1/2^k}$. Szukamy najmniejszego $k$, dla którego

$$\left|x^{1/2^k}-1\right|<0{,}0001.$$

Sprawdzenie kolejnych liczb naturalnych (na kalkulatorze) daje:

$$\begin{array}{c|c|c} x&\text{ostatnie }k\text{ niespełniające}&\text{pierwsze }k\text{ spełniające}\\ \hline 20&14&15\\ 12345&16&17\\ 0{,}9&10&11\\ 0{,}03&15&16 \end{array}$$

Dla stałej dodatniej $c$ zachodzi $\sqrt[n]{c}\to1$. Wyrazy ciągu muszą przy tym być rzeczywiste dla każdego $n$, a podstawa nie może być równa zeru. Potrzebujemy zatem

$$2p^2+7p+3>0.$$

Ponieważ

$$2p^2+7p+3=(2p+1)(p+3),$$

nierówność zachodzi dla $p<-3$ lub $p>-\frac12$.

Ciąg $q^n$ dąży do zera dokładnie wtedy, gdy $|q|<1$. Tutaj daje to

$$-1<2p^2-8p+7<1.$$

Prawa nierówność jest równoważna

$$2(p-1)(p-3)<0,$$

czyli $1<p<3$. Lewa nierówność ma postać $2(p-2)^2>0$, zatem wyklucza $p=2$. Po połączeniu warunków otrzymujemy dwa przedziały.

Bok każdego kolejnego kwadratu jest równy przekątnej połowy poprzedniego boku, zatem jest $\sqrt2/2$ razy krótszy.

a) Dla boku $\sqrt2/8$ obwod $K_n$ wynosi

$$a_n=4\cdot\frac{\sqrt2}{8} \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n-1} =\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n.$$

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie mniejszym od $1$, więc $a_n\to0$.

b) Pole przy przejściu do kolejnego kwadratu zmniejsza się dwukrotnie. Pole $K_1$ dla boku $\sqrt2/2$ jest równe $1/2$, zatem

$$b_n=\left(\frac12\right)^n\to0.$$

Oznaczmy granicę ciągu przez $g$ i przypuśćmy przeciwnie, ze $g<0$. Wybierzmy

$$\varepsilon=-\frac g2>0.$$

Ze zbieżności istnieje takie $N$, ze dla $n>N$ zachodzi $|a_n-g|<\varepsilon$. W szczególności

$$a_n<g+\varepsilon=g-\frac g2=\frac g2<0,$$

co przeczy założeniu $a_n\ge0$. Zatem $g\ge0$.