MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 179

Ponieważ $|{-1/3}|<1$ oraz $|1/3|<1$, oba pierwsze ciągi dążą do zera. Ponadto

$$c_n=\left(-\frac19\right)^n\to0,$$

natomiast

$$d_n=\frac{(1/3)^n}{(1/3)^n}=1$$

dla każdego $n$. Wszystkie cztery granice istnieją.

Mamy

$$|a_n-1|=\left|\frac{(-1)^{n+1}}n\right|=\frac1n.$$

Wyraz nie należy do przedziału $(0{,}99;1{,}01)$, gdy $|a_n-1|\ge0{,}01$, czyli gdy $1/n\ge1/100$. Jest to równoważne $n\le100$, zatem są to wyrazy od $a_1$ do $a_{100}$.

Dla ciągu $(a_n)$ warunek $1/n<10^{-6}$ zachodzi dla $n>10^6$, więc najmniejsze $A$ to $10^6$. Analogicznie

$$\frac1{n^2}<10^{-6}\iff n>10^3, \qquad \frac1{n^3}<10^{-6}\iff n>10^2.$$

Zatem $B=1000$ i $C=100$, a więc $C<B<A$.

Ponieważ $a_n>0$, warunku $|a_n|<\varepsilon$ nie spełniają te numery, dla których $13/n^2\ge\varepsilon$. Otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|c|c} &n^2\le&\text{liczba wyrazów}\\ \hline \text{a)}&130&11\\ \text{b)}&13000&114\\ \text{c)}&130000&360\\ \text{d)}&1{,}3\cdot10^9&36055 \end{array}$$

Liczba wyrazów jest w każdym wierszu częścią całkowita z pierwiastka z prawej strony nierówności.

Rozwiązujemy kolejno nierówności:

$$\begin{aligned} \text{a)}\;&\frac1{2n}<0{,}1 &&\iff n>5,\\ \text{b)}\;&\frac3{\sqrt n}<0{,}01 &&\iff n>90000,\\ \text{c)}\;&\frac1{n^3}<0{,}001 &&\iff n>10,\\ \text{d)}\;&\frac1{n^2+100}<0{,}0001 &&\iff n^2>9900. \end{aligned}$$

Dla naturalnych $n$ ostatni warunek oznacza $n\ge100$.

Obliczamy odległość wyrazu od granicy:

$$\left|\frac{n}{2n+1}-\frac12\right| =\frac1{4n+2}.$$

Zatem

$$\frac1{4n+2}<\frac1{1000} \iff 4n+2>1000 \iff n>249{,}5.$$

Dla naturalnych $n$ oznacza to $n\ge250$.

a)

$$\left|\frac{2n}{1-3n}+\frac23\right| =\frac{2}{3(3n-1)}<10^{-2}.$$

Stąd $200<9n-3$, czyli $n>203/9$; dla naturalnych $n$ otrzymujemy $n\ge23$.

b)

$$\left|\frac{3n^2+1}{n^2}-3\right| =\frac1{n^2}<10^{-5}.$$

Zatem $n^2>100000$, co dla naturalnych $n$ daje $n\ge317$.

Mamy

$$|a_n-2|=\left|-\frac3{\sqrt n}\right|=\frac3{\sqrt n}.$$

Warunek $3/\sqrt n<0{,}005$ jest równoważny nierówności $\sqrt n>600$, czyli $n>360000$. Nie spełniają go zatem wyrazy o numerach $1,2,\ldots,360000$.

a) Dla nieparzystych $n$ mamy $a_n=1$, a dla parzystych $a_n=2/n\to0$. Wykres składa się z dwóch gałęzi punktów: nieparzyste leżą na prostej $y=1$, a parzyste zbliżają się do osi $Ox$. Podciągi mają różne granice, więc cały ciąg nie ma granicy.

b) Dla nieparzystych $n$ mamy $a_n=1+3/n$, a dla parzystych $a_n=1+1/n$. Obie gałęzie wykresu zbliżają się do prostej $y=1$, zatem cały ciąg ma granicę równa $1$.