MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 18

Ze skanu strony 18 odczytujemy pionowe asymptoty $x=-3$ i $x=3$. Ponieważ okres wynosi 6, wszystkie asymptoty mają postać $x=3+6k$, $k\in\mathbb Z$. Wykres istnieje dla pozostałych argumentów, ma minima równe 0 i jest nieograniczony z góry.

Miejsca zerowe powtarzają się co 6 i mają postać $x=6k$. W przedziale $\langle100;110\rangle$ są nimi $102=6\cdot17$ oraz $108=6\cdot18$.

a) Ze skanu strony 18 widać, że minima wykresu występują co 3, więc $T=3$. Redukujemy argumenty modulo 3: $7\equiv1$, $-19\equiv2$, $120\equiv0$. Z wykresu odczytujemy $f(1)=4$, $f(2)=4$, $f(0)=0$.

b) Kolejne jednakowe fragmenty zaczynają się co 4, zatem $T=4$. Mamy $7\equiv3$, $-19\equiv1$, $120\equiv0\pmod4$. Z wykresu odczytujemy $f(3)=4$, $f(1)=3$, $f(0)=5$.

Liczby $n$ i $n+10$ mają tę samą cyfrę jedności, ponieważ różnią się o pełną dziesiątkę. Dla każdego $n\in\mathbb N$ zachodzi więc

$$f(n+10)=f(n).$$

Liczba 10 jest okresem funkcji. Żadna dodatnia liczba naturalna mniejsza od 10 nie zachowuje całego ciągu cyfr $0,1,\ldots,9$, więc okres podstawowy wynosi 10.

a) Sprowadzamy argumenty do $\langle-3;3)$, odejmując wielokrotności 6:

$$2\mapsto2,\qquad20\mapsto2,\qquad-200\mapsto-2.$$

Stąd $f(2)=2$, $f(20)=2$, $f(-200)=-2$.

b) Po odjęciu 54 przedział $\langle51;56\rangle$ przechodzi na $\langle-3;2\rangle$, gdzie funkcja jest dana wzorem liniowym $f(x)=x$ (z odpowiednim przesunięciem), więc jest ściśle rosnąca.

W przedziale $\langle60;65\rangle$ następuje skok w punkcie 63: $f(62)=2>f(63)=-3$, ale jednocześnie $f(60)=0<f(61)=1$. Funkcja nie jest tam ani niemalejąca, ani nierosnąca.

Wykres składa się z punktów

$$(2k,0)\quad\text{oraz}\quad(2k+1,1),\qquad k\in\mathbb Z.$$

Parzystość liczby nie zmienia się po dodaniu 2, więc dla każdego $n\in\mathbb Z$ mamy $f(n+2)=f(n)$. Liczba 1 nie jest okresem, bo $f(0)=0\ne1=f(1)$.

Sprowadzamy argumenty do przedziału $\langle-3;3)$ modulo 6:

$$6\mapsto0,\qquad21\mapsto-3,\qquad-43\mapsto-1, \qquad-202\mapsto2.$$

Podstawiamy do $f(x)=|x|-2$:

$$f(0)=-2,\quad f(-3)=1,\quad f(-1)=-1,\quad f(2)=0.$$

Dla każdego $k\in\mathbb Z$ kopiujemy fragment z $\langle0;4)$ na $\langle4k;4k+4)$.

a) Na tym przedziale $f(x)=2(x-4k)-5$. Jest to odcinek od punktu $(4k,-5)$ do $(4k+4,3)$, z prawym końcem niedomkniętym.

b) Na tym przedziale

$$f(x)=(x-4k)^2-4(x-4k)+1.$$

Każdy łuk paraboli ma wierzchołek $(4k+2,-3)$ i wartości 1 na granicach okresu.

c) Na tym przedziale $f(x)=|x-4k-3|$. Wykres maleje z wartości 3 do 0 w punkcie $4k+3$, a następnie rośnie do niedomkniętej wartości 1; w następnym okresie zaczyna się znów od domkniętej wartości 3.