MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 17

Sprowadzamy kąty do przedziału jednego okresu i korzystamy ze znanych wartości funkcji trygonometrycznych.

a)

$$\frac{\sqrt2}{2}+1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac12 =\sqrt2+\frac32.$$

b) Ponieważ $\tg\frac\pi3\cdot\ctg\frac\pi3=1$, mamy

$$\cos\frac\pi6\sin\frac\pi4 =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6}{4}.$$

c)

$$-\sqrt3+\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 =-\frac{3+\sqrt3}{6}.$$

d)

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot \left(-\frac12\right)\cdot(-\sqrt3)=\frac{3\sqrt2}{8}.$$

e)

$$\left(\frac{\sqrt3-\sqrt2}{2}\right) \left(\frac{\sqrt3+\sqrt2}{2}\right)=\frac{3-2}{4}=\frac14.$$

Kąt ostry między przekątnymi jest dopełnieniem podanego kąta do $\pi$:

$$\pi-\frac{6\pi}{7}=\frac\pi7.$$

Przekątne są symetryczne względem dłuższego boku, więc kąt między przekątną a dłuższym bokiem ma miarę $\frac\pi{14}$. Kąt między przekątną a krótszym bokiem jest jego dopełnieniem do $\frac\pi2$:

$$\frac\pi2-\frac\pi{14}=\frac{3\pi}{7}.$$

Jeśli $l$ jest długością łuku wycinka, to $L=2r+l=2r+\alpha r$. Stąd

$$\alpha=\frac{L-2r}{r}=\frac Lr-2.$$

a) $\alpha=\frac{20}{7}-2=\frac67$

b) $\alpha=\frac{12}{5}-2=\frac25$

c) $\alpha=\frac{30}{9}-2=\frac43$

d) $\alpha=\frac{19}{3{,}2}-2=\frac{95}{16}-\frac{32}{16}=\frac{63}{16}$

Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $2\pi$. Obliczamy brakujący kąt $\delta=2\pi-S$, gdzie $S$ jest sumą trzech podanych kątów.

a) $S=\frac{9\pi}{8}$, więc $\delta=\frac{7\pi}{8}$ — czworokąt istnieje.

b) $S=\frac{41\pi}{20}>2\pi$, więc dodatni czwarty kąt nie istnieje.

c) $S=0{,}6\pi$, więc $\delta=1{,}4\pi$ — istnieje czworokąt wklęsły.

d) $S=\pi$, więc $\delta=\pi$. Taki kąt oznacza współliniowość dwóch sąsiednich boków, czyli figurę zdegenerowaną, a nie czworokąt.

Niech $\angle A=\angle B=x$, ponieważ $CA=CB$. Wysokość z $A$ tworzy z bokiem $AB$ kąt $\frac\pi2-x$, a dwusieczna kąta $A$ — kąt $\frac x2$. Zatem

$$\left|\frac\pi2-x-\frac x2\right|=\frac\pi{10}, \qquad \left|\frac\pi2-\frac{3x}{2}\right|=\frac\pi{10}.$$

Otrzymujemy $x=\frac{2\pi}{5}$ albo $x=\frac{4\pi}{15}$. Ponieważ $\angle C=\pi-2x$, odpowiadają im kolejno $\angle C=\frac\pi5$ oraz $\angle C=\frac{7\pi}{15}$.

Zamieniamy każdą miarę na sekundy kątowe, a następnie korzystamy z $180^\circ=648000''=\pi$ rad.

a) $25^\circ27'06''=91626''$, więc $\alpha=\frac{91626}{648000}\pi=\frac{15271\pi}{108000}$.

b) $66^\circ45'30''=240330''$, więc $\alpha=\frac{240330}{648000}\pi=\frac{8011\pi}{21600}$.

c) $105^\circ54'45''=381285''$, więc $\alpha=\frac{381285}{648000}\pi=\frac{8473\pi}{14400}$.

Jeden pełny obrót wskazówki minutowej, czyli $2\pi$, trwa 60 minut. Zatem

$$\frac{\frac{23\pi}{6}}{2\pi}\cdot60 =\frac{23}{12}\cdot60=115\text{ min}.$$

Jest to 1 godzina i 55 minut po 15.00.

Pole wycinka o kącie $\alpha$ rad wynosi $P=\frac{\alpha r^2}{2}$. Dla $r=4$ i $P=10$ otrzymujemy

$$10=\frac{\alpha\cdot16}{2}=8\alpha, \qquad \alpha=\frac54.$$