MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 19

W jednym okresie przyjmujemy $u\in\langle-2;2)$ i mamy $f(x)=2|u|$, więc

$$h(x)=|2|u|-2|.$$

a) $h(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|u|=1$. Po uwzględnieniu okresu 4 daje to wszystkie liczby nieparzyste: $x=2k+1$.

b) Największa wartość $h$ wynosi 2. Jest osiągana dla $f=0$ lub $f=4$, czyli w punktach odpowiadających $u=0$ albo $u=-2$. Są to wszystkie liczby parzyste: $x=2k$.

c) Równość $h=1$ oznacza $f=1$ albo $f=3$, zatem $|u|=\frac12$ albo $|u|=\frac32$. Po złączeniu okresów otrzymujemy $x=k+\frac12$.

Dodanie 6 nie zmienia reszty z dzielenia przez 6, zatem

$$f_6(k+6)=f_6(k).$$

Analogicznie dodanie 10 nie zmienia reszty z dzielenia przez 10:

$$g_{10}(k+10)=g_{10}(k).$$

Liczba 30 jest wspólną wielokrotnością 6 i 10, więc

$$h(k+30)=f_6(k+30)+g_{10}(k+30) =f_6(k)+g_{10}(k)=h(k).$$

Każda z trzech funkcji ma zatem niezerowy okres.

W jednym okresie $f$ przyjmuje wartości od 0 do 9. Z równania $f(x)=\frac14x^2$ wynika więc $|x|\le6$.

Dla $x\in\langle0;6)$ mamy

$$6x-x^2=\frac14x^2, \qquad x\left(6-\frac54x\right)=0,$$

czyli $x=0$ lub $x=\frac{24}{5}$.

Dla $x\in\langle-6;0)$ argument bazowy to $x+6$, więc

$$6(x+6)-(x+6)^2=\frac14x^2,$$ $$-x^2-6x=\frac14x^2, \qquad x\left(-\frac54x-6\right)=0.$$

W tym przedziale otrzymujemy $x=-\frac{24}{5}$. Punkty $x=\pm6$ nie spełniają równania.

W przedziale bazowym równanie $x^2+x=0$ ma pierwiastki $-1$ i $0$. Po uwzględnieniu okresu 3 wszystkie miejsca zerowe mają postać

$$x=-1+3k\quad\text{lub}\quad x=3k,qquad k\in\mathbb Z.$$

a) Na każdym przedziale $\langle-2+3k;1+3k)$ rysujemy łuk paraboli $y=u^2+u$, gdzie $u=x-3k$.

b) W $\langle0;10\rangle$ otrzymujemy $0,2,3,5,6,8,9$.

c) Dodatnie zera mniejsze od 100 to $3k$ dla $k=1,\ldots,33$ oraz $3k-1$ dla $k=1,\ldots,33$. Ich suma wynosi

$$3\frac{33\cdot34}{2} +\left(3\frac{33\cdot34}{2}-33\right)=3333.$$

Ponieważ 100 jest wielokrotnością 5, w każdym okresie możemy użyć reprezentanta $u\in\langle-2;3)$ i zapisać $f(x)=|u|+2$.

a) Dla każdego $k\in\mathbb Z$ na przedziale $\langle5k-2;5k+3)$ wykres ma wzór

$$f(x)=|x-5k|+2.$$

Te fragmenty nanosimy dla $x\in\langle-5;5\rangle$.

b) $g(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(x)=3$, czyli $|u|=1$. Zera mają postać $x=5k\pm1$; największym ujemnym jest $-1$.

c) Równanie $f(x)=4$ daje $|u|=2$, więc $x=5k\pm2$. W zadanym przedziale są to $-3,-2,2,3$, których suma wynosi 0.

Rozwiązujemy nierówność w przedziale bazowym $\langle0;T)$, a następnie powtarzamy wynik co $T$ i przecinamy z $\langle-2;8\rangle$.

a) Dla $u\in\langle0;4)$: $4-2u\le2\iff u\ge1$. Po przesunięciach o 4 otrzymujemy $\langle-2;0)\cup\langle1;4)\cup\langle5;8)$.

b) Dla $u\in\langle0;2)$ mamy $(u-1)^2\le1\le2$, więc nierówność spełnia cały rozpatrywany przedział $\langle-2;8\rangle$.

c) $|u-2|+2\le2$ zachodzi tylko dla $u=2$. Stąd $x\in\{-2,2,6\}$.

d) Dla $u\in\langle0;2)$ wyrażenie $2-\frac12u^2$ jest nieujemne, więc

$$\left|2-\frac12u^2\right|+\frac12\le2 \iff u^2\ge1\iff u\in\langle1;2).$$

Po przesunięciach o 2 dostajemy $\langle-1;0)\cup\langle1;2)\cup\langle3;4)\cup \langle5;6)\cup\langle7;8)$.