MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 178

Wypisujemy po cztery pierwsze wyrazy. Otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|c|c} & (a_1,a_2,a_3,a_4) & \lim a_n\\ \hline \text{a)}&(4,2,\frac43,1)&0\\ \text{b)}&(-2,-1,-\frac23,-\frac12)&0\\ \text{c)}&(2,\frac52,\frac83,\frac{11}{4})&3\\ \text{d)}&(-1,-\frac32,-\frac53,-\frac74)&-2\\ \text{e)}&(2,\frac72,\frac83,\frac{13}{4})&3\\ \text{f)}&(-5,-\frac72,-\frac{13}{3},-\frac{15}{4})&-4 \end{array}$$

W każdym przypadku składnik zawierający $1/n$ dąży do zera. Wykres ciągu składa się z punktów $(n,a_n)$; w punktach od a) do d) zbliżają się one jednostronnie do odpowiedniej prostej poziomej, a w e) i f) naprzemiennie leżą po obu jej stronach.

Upraszczamy wzory:

$$\text{a) }a_n=1+\frac1n, \qquad \text{b) }a_n=\frac2n-2.$$

W obu przypadkach wykres tworzą punkty $(n,a_n)$. W a) punkty leżą nad prosta $y=1$ i zbliżają się do niej, a w b) leżą nad prosta $y=-2$ i zbliżają się do niej. Ponieważ $1/n\to0$, mamy

$$\lim_{n\to\infty}a_n=1\quad\text{w a)}, \qquad \lim_{n\to\infty}a_n=-2\quad\text{w b)}.$$

Ponieważ $a_n>0$, wyraz nie należy do przedziału $(-\varepsilon,\varepsilon)$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\frac3{n+1}\ge\varepsilon.$$

Kolejno otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|c|c} &\text{warunek}&\text{numery wyrazów}\\ \hline \text{a)}&n+1\le3&1,2\\ \text{b)}&n+1\le6&1,\ldots,5\\ \text{c)}&n+1\le30&1,\ldots,29\\ \text{d)}&n+1\le300&1,\ldots,299 \end{array}$$

W każdym podpunkcie odległość wyrazu od $1$ jest równa

$$|a_n-1|=\frac2{n+1}.$$

Wyraz nie należy do otwartego przedziału wtedy, gdy $2/(n+1)\ge\varepsilon$.

a) $n+1\le10$, więc $n=1,\ldots,9$: jest $9$ wyrazów.

b) $n+1\le40$, więc $n=1,\ldots,39$: jest $39$ wyrazów.

c) $n+1\le20$, więc $n=1,\ldots,19$: jest $19$ wyrazów. Znak $(-1)^n$ nie zmienia odległości od $1$.

a) Najbardziej wewnętrzny pierwiastek ma wartość $\sqrt4=2$. Jeśli wartość wewnętrznego wyrażenia jest równa $2$, to $\sqrt{2+2}=2$. Indukcyjnie $a_n=2$ dla każdego $n$, więc granica jest równa $2$.

b) Najbardziej wewnętrzny pierwiastek ma wartość $\sqrt9=3$. Jeśli wewnętrzna wartość jest równa $3$, kolejny poziom daje $\sqrt{3\cdot3}=3$. Zatem $a_n=3$ dla każdego $n$ i granica jest równa $3$.

Dla $|q|<1$ zachodzi $q^n\to0$, a dla każdej stałej $c>0$ mamy $\sqrt[n]{c}\to1$. Stosując te dwa fakty, otrzymujemy kolejno

$$0,\ 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0.$$

W podpunktach a), g) i h) zmienny znak nie przeszkadza w zbieżności, bo wartość bezwzględna wyrazu dąży do zera.