MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 177

Przy miesięcznej kapitalizacji miesięczna stopa jest równa rocznej stopie podzielonej przez $12$.

a) Roczny czynnik wzrostu to

$$\left(1+\frac{0{,}06}{12}\right)^6 \left(1+\frac{0{,}048}{12}\right)^6\approx1{,}05535.$$

Odsetki stanowią więc około $5{,}535\%$ kwoty pożyczki.

b) Analogicznie

$$\left(1+\frac{0{,}036}{12}\right)^3 \left(1+\frac{0{,}06}{12}\right)^9\approx1{,}05535,$$

czyli odsetki ponownie stanowią około $5{,}535\%$. W obu przypadkach jest to więcej niż $5{,}5\%$.

Niech $r$ oznacza roczna stopę. Odsetki po pierwszym roku to $4000r$, a wszystkie odsetki po dwóch latach to

$$4000\bigl((1+r)^2-1\bigr)=4000(2r+r^2).$$

Z warunku zadania

$$4000r=0{,}49\cdot4000(2r+r^2).$$

Dla $r>0$, po podzieleniu przez $4000r$, dostajemy $1=0{,}49(2+r)$, zatem

$$r=\frac1{0{,}49}-2\approx0{,}040816.$$

Dzisiejszy kapitał musi być suma wartości obecnych wszystkich planowanych wypłat. Dla $N$ wypłat jest to suma geometryczna

$$K_N=\sum_{k=1}^{N}\frac{10000}{1{,}04^k} =10000\frac{1-1{,}04^{-N}}{0{,}04}.$$

Stąd

$$K_5\approx44518{,}22\ \text{zł}, \qquad K_{10}\approx81108{,}96\ \text{zł}.$$

Niech $W$ oznacza stała wypłatę na koniec roku. Jej wartość obecna wynosi $W/1{,}05^k$ dla wypłaty w roku $k$. Wykorzystanie całego kapitału daje

$$100000=W\sum_{k=1}^{20}\frac1{1{,}05^k} =W\frac{1-1{,}05^{-20}}{0{,}05}.$$

Zatem

$$W=100000\frac{0{,}05}{1-1{,}05^{-20}} \approx8024{,}26\ \text{zł}.$$

a) Dziesięć wpłat po $1200$ zł pracowało odpowiednio przez $10,9,\ldots,1$ lat. Obecny stan konta wynosi

$$K=1200(1{,}06+1{,}06^2+\ldots+1{,}06^{10}) =1200\cdot1{,}06\frac{1{,}06^{10}-1}{0{,}06} \approx16765{,}97\ \text{zł}.$$

Po zaokrągleniu jest to $16766$ zł.

b) Niech $W$ oznacza wypłatę na koniec każdego z kolejnych dziesięciu lat. Przy nowej stopie $5\%$ ich dzisiejsza wartość musi być równa obecnemu kapitałowi:

$$16765{,}97=W\frac{1-1{,}05^{-10}}{0{,}05}.$$

Stąd $W\approx2171{,}27$ zł, czyli po zaokrągleniu maksymalnie $2171$ zł.