MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 176

Stan konta po $n$ latach jest równy $K\cdot1{,}04^n$. Szukamy najmniejszej liczby naturalnej $n$ spełniającej

$$1{,}04^n\ge2.$$

Mamy $1{,}04^{17}\approx1{,}9479<2$, natomiast $1{,}04^{18}\approx2{,}0258>2$. Najmniejsza możliwa liczba pełnych lat to zatem $18$.

Każda wpłata pracuje do końca czwartego roku, odpowiednio przez $4,3,2,1$ lat. Dla rocznej stopy $r$ końcowa kwota jest równa

$$K=100\bigl((1+r)^4+(1+r)^3+(1+r)^2+(1+r)\bigr).$$

Po podstawieniu otrzymujemy

$$\text{a) }K\approx452{,}56\ \text{zł}, \qquad \text{b) }K\approx463{,}71\ \text{zł}.$$

Odsetki po podatku odpowiadają rocznej stopie $0{,}015\cdot0{,}8=0{,}012$, więc czynnik wzrostu wynosi $1{,}012$. Od 10. do 18. urodzin jest osiem corocznych wpłat; pierwsza pracuje osiem lat, a ostatnia rok. Zatem

$$K=4000(1{,}012+1{,}012^2+\ldots+1{,}012^8) =4000\cdot1{,}012\frac{1{,}012^8-1}{0{,}012} \approx33777{,}27\ \text{zł}.$$

W rozliczeniu bankowym saldo po każdej kapitalizacji zaokrąglamy do grosza. Dla rekurencji

$$K_j=\operatorname{round}_{0{,}01}\bigl((K_{j-1}+4000)\cdot1{,}012\bigr), \qquad K_0=0,$$

otrzymujemy kolejno $4048{,}00$, $8144{,}58$, $12290{,}31$, $16485{,}79$, $20731{,}62$, $25028{,}40$, $29376{,}74$ i $33777{,}26$ zł. Wzór bez zaokrągleń pośrednich różni się o $0{,}01$ zł.

Kwartalny czynnik wzrostu wynosi $q=1+0{,}015/4=1{,}00375$. Cztery wpłaty pracują odpowiednio przez $4,3,2,1$ kwartałów, więc na koniec roku jest

$$K=2000(q^4+q^3+q^2+q)\approx8075{,}28\ \text{zł}.$$

Suma wpłat to $8000$ zł, zatem nadwyzka jest równa $8075{,}28-8000=75{,}28$ zł.

a) Niech każda rata ma wysokość $R$. Po roku odsetki od pełnego kredytu wynoszą $3200$ zł, zatem pierwsza rata spłaca kapitał w kwocie $R-3200$. Przed druga rata pozostaje $40000-(R-3200)=43200-R$ zł. Druga rata jest równa tej kwocie wraz z $8\%$ odsetek:

$$R=1{,}08(43200-R).$$

Stąd $R\approx22430{,}77$ zł. Łącznie spłata wynosi $2R$, czyli jest o

$$\frac{2R-40000}{40000}\cdot100\%\approx12{,}15\%$$

większa od pożyczki.

b) Przy spłacie jednorazowej po dwóch latach wzrost wynosi

$$(1{,}08^2-1)\cdot100\%=16{,}64\%.$$