MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 175

Kwartalna stopa przed podatkiem wynosi $0{,}012/4$. Po potrąceniu $20\%$ podatku efektywny kwartalny czynnik jest równy

$$1+\frac{0{,}012}{4}\cdot0{,}8=1{,}0024.$$

Jeśli początkowa wpłata to $K$, mamy

$$K\cdot1{,}0024^4=10000,$$

czyli $K\approx9904{,}57$ zł. Po zaokrągleniu należy wpłacić $9905$ zł.

Przy jednorazowej spłacie po dziesięciu latach odsetki stanowią

$$(1{,}05^{10}-1)\cdot100\%\approx62{,}89\%$$

pożyczonej kwoty.

W wariancie z wcześniejsza spłata po pięciu latach należność wynosi $100000\cdot1{,}05^5$. Po zapłaceniu $50000$ zł pozostaje $100000\cdot1{,}05^5-50000$, co przez kolejne pięć lat rośnie do

$$(100000\cdot1{,}05^5-50000)\cdot1{,}05^5.$$

Łączne odsetki, czyli suma obu spłat pomniejszona o $100000$ zł, są równe

$$50000+(100000\cdot1{,}05^5-50000)\cdot1{,}05^5-100000 \approx49075{,}38\ \text{zł}.$$

a) Na początku kolejnych lat zadłużenie wynosi $120000$, $100000$, $80000$, $60000$, $40000$ i $20000$ zł. Harmonogram ma więc postać:

Suma odsetek wynosi

$$0{,}07(120000+100000+80000+60000+40000+20000)=29400\ \text{zł}.$$

b) Przed $k$-ta rata, dla $k=1,\ldots,n$, pozostaje do spłaty $K-(k-1)K/n$. Łączne odsetki są zatem

$$\begin{aligned} I&=r\sum_{k=1}^{n}\left(K-\frac{(k-1)K}{n}\right)\\ &=\frac{rK}{n}(n+(n-1)+\ldots+1) =rK\frac{n+1}{2}. \end{aligned}$$