MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 174

a) Kapitał przed opodatkowaniem jest równy

$$20000\cdot1{,}04\cdot1{,}03\cdot1{,}02=21852{,}48,$$

zatem wzrósł o $1852{,}48$ zł.

b) Podatek stanowi $20\%$ każdorocznych odsetek, więc efektywne czynniki wzrostu to $1{,}032$, $1{,}024$ i $1{,}016$. Na konto trafi

$$20000\cdot1{,}032\cdot1{,}024\cdot1{,}016 =21473{,}53\ \text{zł}.$$

Jest to wzrost o

$$\frac{21473{,}53-20000}{20000}\cdot100\%\approx7{,}4\%.$$

Po $n$ latach stan lokaty jest równy $10000\cdot1{,}02^n$. Z treści zadania

$$10000\cdot1{,}02^n=10612{,}08,$$

czyli $1{,}02^n=1{,}061208$. Ponieważ

$$1{,}02^3=1{,}061208,$$

otrzymujemy $n=3$.

Po podatku kwartalny czynnik wzrostu w banku A wynosi $1+0{,}016\cdot0{,}8/4=1{,}0032$, a liczba kapitalizacji jest równa $8$. W banku B półroczny czynnik wynosi $1+0{,}015\cdot0{,}8/2=1{,}006$, a kapitalizacje są $4$. Zatem

$$K=12000\cdot1{,}0032^8+15000\cdot1{,}006^4 \approx27673{,}92\ \text{zł}.$$

Niech $r$ będzie stała roczna stopa lokaty B. Równość końcowych kapitałów oznacza

$$(1+r)^5=1{,}06\cdot1{,}05^2\cdot1{,}04\cdot1{,}03.$$

Stąd

$$r=\sqrt[5]{1{,}06\cdot1{,}05^2\cdot1{,}04\cdot1{,}03}-1 \approx0{,}04595.$$

Po zaokrągleniu do dziesiątej części procenta jest to $4{,}6\%$.

Odsetki z pierwszej lokaty są równe

$$I=20000(1{,}02^5-1).$$

Jeśli $K$ jest wpłata na lokatę trzyletnia, to warunek równych odsetek ma postać

$$K(1{,}02^3-1)=20000(1{,}02^5-1).$$

Zatem

$$K=20000\frac{1{,}02^5-1}{1{,}02^3-1}\approx34008{,}89.$$