MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 173

Po każdym roku kapitał mnożymy przez $1+0{,}025=1{,}025$. Zatem po $n$ latach wynosi on

$$K_n=8000\cdot1{,}025^n.$$

Po podstawieniu kolejno $n=1,4,12$ otrzymujemy

$$K_1=8200,\qquad K_4\approx8830{,}50,\qquad K_{12}\approx10759{,}11.$$

Korzystamy ze wzoru $K_n=5000(1+r)^n$, przy czym $r$ zapisujemy w postaci dziesiętnej. Dostajemy:

$$\begin{aligned} \text{a)}\;&5000\cdot1{,}03^2=5304{,}50,\\ \text{b)}\;&5000\cdot1{,}05^2=5512{,}50,\\ \text{c)}\;&5000\cdot1{,}04^5\approx6083{,}26,\\ \text{d)}\;&5000\cdot1{,}08^5\approx7346{,}64,\\ \text{e)}\;&5000\cdot1{,}05^{10}\approx8144{,}47,\\ \text{f)}\;&5000\cdot1{,}06^{20}\approx16035{,}68. \end{aligned}$$

Przy zmiennym oprocentowaniu mnożymy kapitał przez kolejne czynniki wzrostu. Kolejność tych czynników nie zmienia iloczynu. Otrzymujemy

$$\begin{aligned} \text{a)}\;&10000\cdot1{,}05\cdot1{,}045\cdot1{,}04^4 \approx12836{,}27,\\ \text{b)}\;&10000\cdot1{,}045^2\cdot1{,}04^4 \approx12775{,}15,\\ \text{c)}\;&10000\cdot1{,}06\cdot1{,}05^3\cdot1{,}04^2 \approx13272{,}12. \end{aligned}$$

Po pobraniu podatku do kapitału trafia $80\%$ naliczonych odsetek. Efektywna roczna stopa wynosi więc

$$0{,}05\cdot0{,}8=0{,}04.$$

Odsetki dopisane po $n$ latach są równe

$$I_n=10000(1{,}04^n-1).$$

Stąd

$$I_5\approx2166{,}53,\qquad I_{10}\approx4802{,}44.$$

Jeśli pożyczona kwota była równa $K$, to po czterech latach odsetki wynoszą

$$I=K(1{,}05^4-1).$$

Zatem

$$K=\frac{I}{1{,}05^4-1}.$$

Dla $I=108$ zł dostajemy $K\approx501{,}15$ zł, a dla $I=431$ zł $K\approx1999{,}94$ zł. Po zaokrągleniu do pełnych złotych są to odpowiednio $501$ zł i $2000$ zł.

Niech $r$ oznacza roczna stopę procentowa w zapisie dziesiętnym. Warunek zadania daje

$$25000(1+r)^2=26214{,}40,$$

więc

$$1+r=\sqrt{\frac{26214{,}40}{25000}}=1{,}024.$$

Zatem $r=0{,}024=2{,}4\%$.