MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 172

Warunek arytmetyczności pierwszej trójki daje

$$2(x+2y)=(2x+y)+(5y-x),$$

stąd $x=2y$.

Po podstawieniu do warunku geometryczności:

$$(2y^2+1)^2=\bigl((y-1)(2y+1)\bigr)^2.$$

Rozpatrujemy oba znaki po spierwiastkowaniu. Z równania

$$2y^2+1=2y^2-y-1$$

dostajemy $y=-2$. Z równania

$$2y^2+1=-(2y^2-y-1)$$

wynika $y(4y-1)=0$. Zatem $y\in\{-2,0,\frac14\}$, a $x=2y$.

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego ma postać

$$a_k=1+3(k-1)=3k-2.$$

Ciąg geometryczny zaczynający się od $1,4$ ma wyrazy

$$g_n=4^{n-1}.$$

Ponieważ $4^{n-1}\equiv1\pmod3$, liczba

$$k_n=\frac{4^{n-1}+2}{3}$$

jest naturalna. Ponadto $a_{k_n}=3k_n-2=4^{n-1}=g_n$, a indeksy $k_n$ rosną. Każdy wyraz $(g_n)$ występuje więc w $(a_n)$ w zachowanej kolejności.

Czworokąt $A_nB_nC_nD_n$ jest trapezem o odległości podstaw równej $1$ i długościach podstaw $a_n,a_{n+1}$. Jego pole wynosi

$$p_n=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}.$$

Jeśli $a_n=a_1+(n-1)r$, to

$$p_n=a_1+\left(n-\frac12\right)r.$$

Stąd $p_{n+1}-p_n=r$, czyli różnica jest stała.

a) Obliczamy

$$b_n=a_{n+1}-a_n=2An+A+B.$$

Jest to funkcja liniowa indeksu, zatem $(b_n)$ jest arytmetyczny, a jego różnica wynosi $2A$.

b) Z warunku $2A=4$ mamy $A=2$. Dalej

$$b_1=3A+B=-8,$$

więc $B=-14$. Na koniec $a_1=A+B+C=8$, zatem $C=20$. Otrzymujemy

$$a_n=2n^2-14n+20=2(n-2)(n-5).$$

Oznaczmy $S_n=s$ oraz $q^n=x$. Kolejne bloki po $n$ wyrazów mają sumy $s,xs,x^2s$. Z danych:

$$s+xs=3, \qquad s+xs+x^2s=7.$$

Stąd $x^2s=4$ i $xs=3-s$. Ponieważ

$$x^2s=\frac{(xs)^2}{s},$$

otrzymujemy

$$(3-s)^2=4s,$$

czyli $(s-1)(s-9)=0$. Ciąg jest rosnący, a $S_n<S_{2n}=3$, więc $s=1$.

Wystarczy wybrać stały ciąg arytmetyczny

$$a_n=1 \quad\text{dla każdego }n\ge1.$$

Ma on różnice $0$. Niezależnie od wyboru indeksów $k<l<m$ zachodzi

$$a_k=a_l=a_m=1.$$

Liczby $1,1,1$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $1$, co kończy dowód istnienia wymaganego ciągu.

Liczba złożona z $n$ jedynek ma postać

$$a_n=\frac{10^n-1}{9}.$$

Zatem

$$S_{20}=\frac19\left(\sum_{n=1}^{20}10^n-20\right) =\frac19\left(\frac{10(10^{20}-1)}9-20\right).$$

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:

$$S_{20}=\frac{10^{21}-190}{81}.$$

Z drugiej strony

$$\frac{a_{21}-21}{9} =\frac19\left(\frac{10^{21}-1}{9}-21\right) =\frac{10^{21}-190}{81}.$$

Obie wielkości są równe.

a) Zapis dziesiętny składa się z $n$ jedynek, a potem z $n$ piątek. Pierwsza część ma wartość

$$10^n\cdot\frac{10^n-1}{9},$$

a druga $5\frac{10^n-1}{9}$. Zatem

$$a_n=\frac{(10^n+5)(10^n-1)}9 =\frac{10^{2n}+4\cdot10^n-5}{9}.$$

b) Dodajemy $1$:

$$a_n+1=\frac{10^{2n}+4\cdot10^n+4}{9} =\left(\frac{10^n+2}{3}\right)^2.$$

Ponieważ $10^n\equiv1\pmod3$, liczba $(10^n+2)/3$ jest naturalna.

Oznaczmy szukane liczby przez $a,b,c$. Mamy

$$b^2=ac, \qquad a^2+b^2+c^2=21, \qquad 2(b-4)=a+1+c.$$

Niech $s=a+c$ i $p=ac=b^2$. Z trzeciego równania $s=2b-9$. Pierwsze dwa dają

$$s^2-p=21.$$

Po podstawieniu otrzymujemy

$$(2b-9)^2-b^2=21,$$

czyli $b^2-12b+20=0$. Stąd $b=2$ lub $b=10$. Dla $b=10$ równanie o pierwiastkach $a,c$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dla $b=2$ mamy $a+c=-5$ i $ac=4$, więc $\{a,c\}=\{-1,-4\}$.

Wielomian jest parzysty, więc jego cztery rzeczywiste pierwiastki występują parami przeciwnymi. Cztery liczby w ciągu arytmetycznym, symetryczne względem zera, mają postać

$$-3d,-d,d,3d \qquad(d>0).$$

Wielomian o tych pierwiastkach to

$$(x^2-d^2)(x^2-9d^2) =x^4-10d^2x^2+9d^4.$$

Zatem $a=-10d^2<0$ oraz

$$b=9d^4=\frac9{100}a^2.$$

Odwrotnie, dla takich $a,b$ można przyjąć $d=\sqrt{-a/10}$ i otrzymać wskazane cztery pierwiastki.