MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 171

Niech różnice ciągów $(a_n)$ i $(b_n)$ będą równe odpowiednio $r$ i $s$. Zapiszmy

$$a_n=A+(n-1)r, \qquad b_n=B+(n-1)s.$$

Iloczyn $u_n=a_nb_n$ jest wielomianem kwadratowym zmiennej $n$, którego współczynnik przy $n^2$ wynosi $rs$. Ponieważ

$$c_n=u_{n+1}-u_n,$$

ciąg $(c_n)$ jest liniowy względem $n$. Dokładniej jego różnica jest stała:

$$c_{n+1}-c_n=u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n=2rs.$$

Zatem $(c_n)$ jest ciągiem arytmetycznym.

Iloraz kolejnych wyrazów $(b_n)$ wynosi

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} =2^{\frac{a_{n+1}-a_n}{2}} =2^{\frac22}=2.$$

Jest stały, więc $(b_n)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz to

$$b_1=2^{\frac{\frac12-1}{2}}=2^{-\frac14} =\frac1{\sqrt[4]{2}}.$$

Odcięte zaczynają się od $-1,1$, więc ich różnica wynosi $2$:

$$x_n=-1+2(n-1)=2n-3.$$

Stąd $y_n=2^{x_n}$, a

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=2^{x_{n+1}-x_n}=2^2=4.$$

Rzędne tworzą zatem ciąg geometryczny.

a) $x_5=7$ i $y_5=2^7=128$.

b) Punkty $A_3=(3,8)$ i $A_4=(5,32)$, więc

$$|A_3A_4|=\sqrt{(5-3)^2+(32-8)^2} =\sqrt{580}=2\sqrt{145}.$$

Oznaczmy liczby przez $x<y<z$. Warunki dają

$$x+y+z=7, \qquad y^2=xz, \qquad 2y=x+z-1.$$

Z pierwszego równania $x+z=7-y$. Po podstawieniu do trzeciego:

$$2y=6-y,$$

czyli $y=2$. Wtedy $x+z=5$ i $xz=4$. Liczby $x,z$ są zatem pierwiastkami równania

$$t^2-5t+4=0.$$

Ponieważ ciąg jest rosnący, $x=1$ i $z=4$.

a) Warunek geometryczności ma postać

$$a^2=\frac{a}{a-1}\cdot\frac{a}{a+1} =\frac{a^2}{a^2-1}.$$

Dla $a=0$ równość zachodzi. Dla $a\ne0$ dzielimy przez $a^2$ i otrzymujemy $a^2-1=1$, czyli $a=\pm\sqrt2$.

b) Warunek arytmetyczności daje

$$2a=\frac{a}{a-1}+\frac{a}{a+1} =\frac{2a^2}{a^2-1}.$$

Ponownie $a=0$ jest rozwiązaniem. Dla $a\ne0$ dostajemy

$$a^2-a-1=0,$$

więc $a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$. Wszystkie znalezione wartości spełniają warunki $a\ne\pm1$.

Oznaczmy środkowy wyraz przez

$$m=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge0.$$

a) Dla ciągu arytmetycznego $2m=x+y$. Po podniesieniu do kwadratu:

$$2(x^2+y^2)=(x+y)^2,$$

czyli $(x-y)^2=0$. Stąd $x=y$, a warunek $m=x$ wymaga $x\ge0$.

b) Dla ciągu geometrycznego $m^2=xy$. Otrzymujemy

$$\frac{x^2+y^2}{2}=xy,$$

a więc znów $(x-y)^2=0$. Tym razem każde rzeczywiste $x=y$ spełnia warunek, także gdy środkowym wyrazem jest $|x|$.

Ponieważ $y=xq$ i $z=xq^2$, po pominięciu wspólnego niezerowego czynnika $x/2$ badamy liczby

$$1+q, \qquad 1+q^2, \qquad q+q^2.$$

Każda z nich może być środkowym wyrazem ciągu arytmetycznego.

Dla środkowego $1+q^2$ dostajemy $(q-1)^2=0$. Dla środkowego $1+q$ otrzymujemy

$$2q^2-q-1=0,$$

czyli $q=1$ lub $q=-\frac12$. Dla środkowego $q+q^2$ mamy

$$q^2+q-2=0,$$

czyli $q=1$ lub $q=-2$. Łączymy wyniki.

Środkowa liczba ciągu arytmetycznego o sumie $9$ jest równa $3$. Zapiszmy więc liczby jako

$$x,\quad3,\quad6-x.$$

Po wykonaniu opisanych zmian otrzymujemy $x^2,2,5-x$. Warunek geometryczności daje

$$4=x^2(5-x),$$

czyli

$$x^3-5x^2+4=0.$$

Rozkładamy wielomian:

$$(x-1)(x^2-4x-4)=0.$$

Stąd $x=1$ albo $x=2\pm2\sqrt2$. Wstawienie do $x,3,6-x$ daje trzy ciągi.

Niech $b=aq$ i $c=aq^2$. Warunek arytmetyczności liczb $a+b,b+c,c+a$ ma postać

$$2(b+c)=(a+b)+(c+a).$$

Po redukcji otrzymujemy $b+c=2a$. Dzielimy przez $a\ne0$:

$$q+q^2=2.$$

Zatem

$$(q-1)(q+2)=0.$$