MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 170

Dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy

$$b_{10}=361\cdot2^{10-8}=1444.$$

Ciąg arytmetyczny ma $a_1=13$ i różnice $7$, zatem

$$S_n=\frac n2\bigl(2\cdot13+7(n-1)\bigr) =\frac n2(7n+19).$$

Warunek $S_n=1444$ daje

$$7n^2+19n-2888=0.$$

Pierwiastki tego równania to $19$ i $-\frac{152}{7}$, więc liczba początkowych wyrazów może być tylko równa $19$.

a) Sześciowyrazowa suma składa się z dwóch bloków po trzy wyrazy:

$$S_6=S_3+q^3S_3=(1+q^3)S_3.$$

Jest ona o $51{,}2\%$ większa od $S_3$, czyli

$$1+q^3=1{,}512, \qquad q^3=0{,}512=(0{,}8)^3.$$

Stąd $q=0{,}8=\frac45$.

b) Ze wzoru $a_7=a_1q^6$ otrzymujemy

$$25=a_1\left(\frac45\right)^6, \qquad a_1=25\left(\frac54\right)^6.$$

a) Mamy $a_5=a_1+4r$ oraz $a_{17}=a_1+16r$. Z danej proporcji:

$$a_1(a_1+16r)=(a_1+4r)^2.$$

Po redukcji wyrazów $a_1^2$ dostajemy

$$8a_1r=16r^2.$$

Ponieważ $r\ne0$, zachodzi $a_1=2r$.

b) Warunek ma postać

$$b_1(q^2-1)=b_1(q^4-q^2).$$

Dzielimy przez $b_1\ne0$ i przenosimy wyrazy na jedna stronę:

$$(q^2-1)^2=0.$$

Zatem $q^2=1$.

a) Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Otrzymujemy

$$\left(\frac1{ac}\right)^2=\frac1{ab}\cdot\frac1{bc}.$$

Po pomnożeniu przez $a^2b^2c^2$ dostajemy $b^2=ac$. Wobec tego

$$(b^2)^2=b^4=a^2c^2=a^2\cdot c^2,$$

czyli $a^2,b^2,c^2$ tworzą ciąg geometryczny.

b) Warunek arytmetyczności daje

$$\frac2{ac}=\frac1{ab}+\frac1{bc}.$$

Po pomnożeniu przez niezerowe $abc$ otrzymujemy $2b=a+c$. Jest to dokładnie warunek, aby $a,b,c$ tworzyły ciąg arytmetyczny.

Iloraz czterowyrazowego ciągu spełnia

$$q^3=\frac{13\frac12}{4}=\frac{27}{8},$$

zatem $q=\frac32$. Stąd

$$x=4\cdot\frac32=6, \qquad y=6\cdot\frac32=9.$$

W ciągu $a_n=\frac{n-7}{3}$ rozwiązujemy kolejno

$$\frac{n-7}{3}=6 \quad\text{oraz}\quad \frac{n-7}{3}=9.$$

Daje to indeksy $25$ i $34$.

a) W ciągu arytmetycznym jedna z liczb jest średnia pozostałych. Rozpatrujemy trzy możliwości:

$$2\cdot4=x+16,\qquad 2\cdot16=x+4,\qquad 2x=4+16.$$

Otrzymujemy odpowiednio $x=-8$, $x=28$ i $x=10$.

b) W ciągu geometrycznym kwadrat liczby środkowej jest iloczynem skrajnych. Trzy możliwości dają

$$4^2=16x,\qquad 16^2=4x,\qquad x^2=4\cdot16.$$

Stąd $x=1$, $x=64$ albo $x=\pm8$.

Suma wyrazów od $a_{10}$ do $a_{32}$ jest różnica dwóch sum początkowych:

$$a_{10}+\ldots+a_{32}=S_{32}-S_9.$$

Obliczamy

$$S_{32}=2\cdot32^2-5\cdot32=1888,$$ $$S_9=2\cdot9^2-5\cdot9=117.$$

Zatem szukana suma wynosi $1888-117=1771$.

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ma postać

$$S_n=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr) =\frac r2n^2+\left(a_1-\frac r2\right)n.$$

Porównanie współczynników z $an^2+bn+c$ daje

$$a=\frac r2, \qquad b=a_1-\frac r2, \qquad c=0.$$

Warunki te są też wystarczające, bo wówczas różnica kolejnych wyrazów $S_n-S_{n-1}$ jest stała i równa $r$.