MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 169

Mamy $S_{20}=S_7+q^7S_{13}$. Porównanie z założeniem daje $(q^7-1)S_{13}=0$. Dla niezerowego ciągu rzeczywistego suma trzynastu początkowych wyrazów nie jest zerem, więc $q^7=1$, a zatem $q=1$. Ciąg jest stały; ciąg zerowy również jest stały.

a) $a_n=10^n-1$. Sumujemy ciąg $10^n$ i odejmujemy $10$.

b) $a_n=1-(1/2)^n$. Sumujemy dziesięć jedynek i odejmujemy sumę geometryczną.

c) $a_n=3^{n-1}+1/2^n$. Sumujemy osobno oba ciągi geometryczne.

Rozpisujemy sumę: $S_{n+1}=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^n=a_1+q(a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1})=a_1+qS_n.$

Z $a_n=S_n-S_{n-1}$ otrzymujemy $a_n=(1-\sqrt3)(\sqrt3)^{n-1}$. Wyrazy parzyste tworzą ciąg o pierwszym wyrazie $a_2=\sqrt3-3$ i ilorazie $3$. Ich pięcioelementowa suma wynosi $(\sqrt3-3)(1+3+9+27+81)$.

Dla $q>1$ podstawiamy wzory do $a_1q^n=a_1+S_n$. Po skróceniu $a_1\ne0$ i uporządkowaniu dostajemy $(q-2)(q^n-1)=0$. Ponieważ ciąg jest rosnący, $q^n\ne1$, więc $q=2$.

Dla ciągu geometrycznego druga grupa sześciu wyrazów jest $q^6$ razy większa od pierwszej, więc $S_{12}=S_6(1+q^6)$. Dane wymagałyby $20=-10(1+q^6)$, czyli $q^6=-3$, co jest niemożliwe dla rzeczywistego $q$.

Odwrotności zapisujemy w odwrotnej kolejności: $T_n=\frac1{a_1q^{n-1}}(1+q+\cdots+q^{n-1}).$ Ponieważ $S_n=a_1(1+q+\cdots+q^{n-1})$ oraz $a_n=a_1q^{n-1}$, prawa strona jest równa $S_n/(a_1a_n)$.

Korzystamy z tożsamości wielomianowej dla nieparzystej liczby składników: $(1+q+\cdots+q^8)(1-q+q^2-\cdots+q^8)=1+q^2+q^4+\cdots+q^{16}.$ Po pomnożeniu przez $a^2$ lewa strona jest $S_9T_9$, a prawa jest sumą kwadratów dziewięciu wyrazów, czyli $K_9$.

a) Iloczyn wynosi $a_1^nq^{0+1+\cdots+n-1}=a_1^nq^{n(n-1)/2}$. Ponieważ $a_1a_n=a_1^2q^{n-1}$, jest to $(a_1a_n)^{n/2}$.

b) Z zależności $T_n=S_n/(a_1a_n)$ mamy $b=a/(a_1a_n)$, czyli $a_1a_n=a/b$. Wstawiamy tę wartość do wyniku z a).