MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 16

Korzystamy z zależności $180^\circ=\pi$ rad, czyli mnożymy miarę stopniową przez $\frac{\pi}{180^\circ}$.

a) $450^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{2}$

b) $750^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{25\pi}{6}$

c) $900^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=5\pi$

d) $1000^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{50\pi}{9}$

e) $-1200^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{20\pi}{3}$

f) $-600^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{10\pi}{3}$

g) $-990^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{11\pi}{2}$

h) $-1500^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{25\pi}{3}$

Korzystamy z $\pi\ \mathrm{rad}=180^\circ$ i mnożymy współczynnik stojący przy $\pi$ przez $180^\circ$.

a) $3{,}5\cdot180^\circ=630^\circ$

b) $\frac{13}{3}\cdot180^\circ=780^\circ$

c) $7\cdot180^\circ=1260^\circ$

d) $\frac{26}{5}\cdot180^\circ=936^\circ$

e) $-\frac{11}{4}\cdot180^\circ=-495^\circ$

f) $-\frac{73}{9}\cdot180^\circ=-1460^\circ$

g) $-3{,}3\cdot180^\circ=-594^\circ$

h) $-16{,}6\cdot180^\circ=-2988^\circ$

Przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą wypukły $n$-kąt na $n-2$ trójkąty. Każdy trójkąt ma sumę kątów równą $\pi$, zatem suma kątów $n$-kąta wynosi $(n-2)\pi$.

Podstawiamy kolejno $n=3,4,5,6$.

Kąt pełny $2\pi$ wyznacza łuk długości $2\pi r$ i całe koło o polu $\pi r^2$. Wielkości dla kąta $\alpha$ otrzymujemy w proporcji $\frac{\alpha}{2\pi}$.

Z zależności $l=\alpha r$ otrzymujemy $\alpha=\frac lr$.

a) $\alpha=\frac{12}{8}=\frac32$

b) $\alpha=\frac{8\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}$

c) $\alpha=\frac{0{,}9\pi}{9}=\frac{\pi}{10}$

d) $\alpha=\frac{3{,}6\pi}{2\pi}=\frac95$

e) $\alpha=\frac{\frac14\pi}{\frac13\pi}=\frac34$

f) $\alpha=\frac{20}{5\pi}=\frac4\pi$

Dla punktu $P$ mamy $r=\sqrt{(-4)^2+(4\sqrt3)^2}=8$, zatem $\cos\theta=-\frac12$ i $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$. Ramię $OP$ ma więc kierunek $\theta\equiv\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}$.

Po sprowadzeniu podanych kątów modulo $2\pi$ otrzymujemy kolejno: $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$.

Szukamy reszty kąta $\beta$ modulo $2\pi$ należącej do $\langle0;2\pi)$.

a) $\frac{19\pi}{6}-2\pi=\frac{7\pi}{6}$

b) $\frac{25\pi}{3}-8\pi=\frac{\pi}{3}$

c) $\frac{27\pi}{5}-4\pi=\frac{7\pi}{5}$

d) $-\frac{15\pi}{4}+4\pi=\frac{\pi}{4}$

e) $-\frac{22\pi}{7}+4\pi=\frac{6\pi}{7}$

f) $\frac{31\pi}{4}-6\pi=\frac{7\pi}{4}$

g) $-\frac{5\pi}{16}+2\pi=\frac{27\pi}{16}$

h) $\frac{110\pi}{3}-36\pi=\frac{2\pi}{3}$

i) Ponieważ $2<\sqrt5<4$, dodajemy $4\pi$: $-\sqrt5\pi+4\pi=(4-\sqrt5)\pi$.