MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 168

Przed siódmym uderzeniem kulka najpierw przebywa $1$ m w dół, a następnie sześć razy drogę w górę i w dół na wysokościach $(3/4)^k$, $k=1,\ldots,6$. Zatem $d=1+2\sum_{k=1}^6(3/4)^k=1+6(1-(3/4)^6)\approx5{,}9\ \mathrm m.$

Suma wyrazów od $a_{10}$ do $a_{18}$ jest równa $q^9S_9$. Z treści jest ona $27S_9$, zatem $q^9=27$. Dla rzeczywistego ilorazu $q=\sqrt[3]3$.

Wyraz $a_7=32000(-1/2)^6=500$. Suma od $a_7$ do $a_{15}$ obejmuje dziewięć wyrazów, więc wynosi $500\frac{1-(-1/2)^9}{1+1/2}=333\frac{63}{64}$.

Po wyłączeniu wspólnych czynników równania mają postać $a_1q^2(1+q^4)=5\sqrt2$ i $a_1q^5(1+q^4)=5/2$. Ich iloraz daje $q^3=1/(2\sqrt2)$, więc $q=1/\sqrt2$, a pierwsze równanie daje $a_1=8\sqrt2$. Podstawiamy do wzoru na $S_{10}$.

Różnice sum dają $a_6+a_7=a_1q^5(1+q)=2$ oraz $a_9+a_{10}=a_1q^8(1+q)=16$. Po podzieleniu $q^3=8$, więc $q=2$ i $a_1=1/48$. Stąd $S_9=\frac1{48}(2^9-1)=511/48$.

Dla wspólnego ilorazu $2$ równanie sum ma postać $8{,}5(2^n-1)=2{,}1(2^{n+2}-1)$. Po pomnożeniu przez $10$ i uproszczeniu otrzymujemy $2^n=64$.

Wystarczy podać przykłady. Dla $q=2$ pięć wyrazów ma sumę $31a_1=100$, więc $a_1=100/31$. Dla $q=-2$ ich suma wynosi $11a_1=100$, więc $a_1=100/11$.

Suma wyrazów $a_4+a_5+a_6$ jest równa $q^3S_3$. Zatem $14q^3=-14/27$, skąd $q=-1/3$. Suma kolejnej trójki $a_7+a_8+a_9=q^6S_3=14/729$.

Różnica dziesiątych potęg rozkłada się jako $x^{10}-y^{10}=(x-y)(x^9+x^8y+x^7y^2+\cdots+xy^8+y^9).$ Ponieważ $x\ne y$, dzielimy obie strony przez $x-y$ i otrzymujemy tezę.

Korzystamy z $a_6=S_6-S_5$ i $a_7=S_7-S_6$.

a) $a_6=30,a_7=300$, więc $q=10$ i ciąg jest rosnący.

b) $a_6=1/27,a_7=-1/81$, więc $q=-1/3$ i ciąg nie jest monotoniczny.

c) $a_6=-0{,}002,a_7=-0{,}0002$, więc $q=0{,}1$; ujemne wyrazy zbliżają się do zera, zatem ciąg jest rosnący.