MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 167

Stosujemy $S_7=a_1\frac{1-q^7}{1-q}$. Ilorazy wynoszą kolejno $-1/2$, $1/10$, $2/3$ i $3/2$. Po podstawieniu otrzymujemy wyniki z odpowiedzi.

Suma od $a^n$ do $a^k$ jest sumą geometryczną z pierwszym wyrazem $a^n$, ilorazem $a$ i liczbą wyrazów $k-n+1$. Podstawienie danych i uproszczenie daje wyniki.

a) $a_1=48,q=1/2$, więc $S_8=48\frac{1-(1/2)^8}{1-1/2}=95\frac14$.

b) $a_1=3,q=\sqrt3$, więc $S_8=3\frac{1-(\sqrt3)^8}{1-\sqrt3}=120+39\sqrt3$.

Każdy z trzech zapisanych ułamków skraca się do $13/70$, zatem jest to ciąg stały o $q=1$. Suma siedmiu wyrazów wynosi $7\cdot13/70=13/10$.

Mamy $a_{n+1}=S_n+3/8=192$, więc $(3/8)q^n=192$ i $q^n=512$. Z kolei wzór na sumę daje $3(q^n-1)/(q-1)=1533$. Po wstawieniu $q^n=512$ otrzymujemy $q-1=1$.

Nagrody tworzą ciąg o $q=0{,}8$. Jeżeli pierwsza wynosi $x$, to $x\frac{1-0{,}8^6}{1-0{,}8}=11\,529$. Stąd $x=3125$.

Boki mają długości $l_n=1{,}1^{n-1}$.

a) Suma obwodów to $3\sum_{n=1}^5l_n=3\frac{1-1{,}1^5}{1-1{,}1}\approx18{,}32$.

b) Pola mają pierwszy wyraz $\sqrt3/4$ i iloraz $1{,}1^2=1{,}21$, więc ich suma wynosi $\frac{\sqrt3}{4}\frac{1-1{,}21^5}{1-1{,}21}\approx3{,}29$.