MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 166

Układ ma postać $a_1(1+q^2+q^4)=21$ i $a_1(q^2-1)=3$. Eliminacja $a_1$ daje $q^4-6q^2+8=0$, więc $q^2=2$ lub $4$. Monotoniczność wymusza $q>0$. Dla $q=\sqrt2$ jest $a_1=3$, a dla $q=2$ jest $a_1=1$.

Iloczyn wynosi $I_n=\prod_{k=1}^n aq^{k-1}=a^nq^{0+1+\cdots+(n-1)}=a^nq^{n(n-1)/2}=\left(aq^{(n-1)/2}\right)^n.$

Niech liczby będą $a,aq,aq^2,aq^3$. Z wzorów Viète’a $a^2q=2$ oraz $a^2q^5=32$, więc $q^4=16$. Rosnący ciąg ma $q=2$ i $a=1$. Sumy par pierwiastków dają $A=-(1+2)=-3$ oraz $B=-(4+8)=-12$.

a) $b_{n+1}=a_{n+1}+1=5a_n+5=5b_n$, a $b_1=3$. Zatem $b_n=3\cdot5^{n-1}$.

b) Ponieważ $a_n=b_n-1$, otrzymujemy $a_n=3\cdot5^{n-1}-1$.

Niech ilorazy ciągów będą $q_a,q_b$.

a) $c_{n+1}=a_{n+1}b_{n+1}=q_aq_ba_nb_n=q_aq_bc_n$, więc iloraz jest stały.

b) Gdy $q_a=q_b=q$, mamy $d_{n+1}=5qa_n+2qb_n=q(5a_n+2b_n)=qd_n$.

Niech $a_{n+1}=qa_n$.

a) $b_{n+1}/b_n=a_{2n+2}/a_{2n}=q^2$.

b) Dla niezerowych wyrazów $b_{n+1}/b_n=a_n/a_{n+1}=1/q$.

c) $b_n=a_1(q-1)q^{n-1}$, więc iloraz wynosi $q$.

d) $b_n=a_1(4q^2-3)q^{n-1}$, więc również ma stały iloraz $q$ (także gdy jest zerowy).

Po podstawieniu $a_n=a_1q^{n-1}$ otrzymujemy $b_n=a_1^2q^{2n}+a_1^2q^{2n-2}=a_1^2(1+q^2)q^{2n-2}.$ Zatem $b_{n+1}=q^2b_n$, więc ciąg jest geometryczny.

Dla każdego całkowitego $n\ge1$ zachodzi $|\sin(\pi(2n+1)/4)|=\sqrt2/2$. Rekurencja ma więc stały iloraz $q=1/\sqrt2$. Ponieważ $a_7=a_1q^6=k/8=1{,}5$, mamy $k=12$. Dodatni iloraz mniejszy od $1$ i dodatni pierwszy wyraz dają ciąg malejący.