MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 165

Niech liczby będą $a,aq,aq^2,aq^3$. Z równań $a(1+q^3)=36$ i $a(1+q+q^2+q^3)=60$ oraz warunku malejącego ciągu otrzymujemy $q=1/2$ i $a=32$.

Niech pierwsze wyrazy będą $x,y,z$. Warunki dają $x+y+z=13$ oraz $z-x-y=5$, więc $z=9$ i $x+y=4$. Równość $y^2=xz$ prowadzi do $y=3,x=1$ albo do niemonotonicznego wariantu, który odrzucamy. Zatem $q=3$ i $a_4=27$.

Po zapisaniu $a_k=a_1q^{k-1}$ rozwiązujemy układy.

a) $q^2=9$, a drugie równanie daje $(q,a_1)=(3,1)$ lub $(-3,14/13)$.

b) $q^3=8$, więc $q=2$, a $a_1(q^5-q^2)=14$ daje $a_1=1/2$.

c) Eliminacja $a_1$ daje $q=-2$, po czym $a_1=-1$.

a) Z $a_4=a_1q^3$ mamy $a_1=-1/25$; ciąg jest ujemny i malejący.

b) $q^6=1/8$, więc $q=\pm1/\sqrt2$. Dodatni wariant maleje, ujemny nie jest monotoniczny.

c) $q=a_3/a_2=1/5$, $a_1=25$; ciąg jest malejący.

Rozwijamy iloczyn jako różnicę kwadratów: $(\sqrt x+\sqrt z)^2-y=x+z+2\sqrt{xz}-y.$ Porównanie z $x+y+z$ daje $y=\sqrt{xz}$, a więc $y^2=xz$. To dokładnie warunek, by dodatnie liczby $x,y,z$ były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Warunek geometryczności daje $(\sqrt p)^2=p\sqrt{p+\sqrt p}$. Po podzieleniu przez $p>0$ mamy $\sqrt{p+\sqrt p}=1$. Dla $t=\sqrt p>0$ otrzymujemy $t^2+t=1$. Trzy wyrazy to zatem $1-t,t,1$, których suma wynosi $2$.

Iloraz ciągu jest równy $q=a_2/a_1=a$. Z rekurencji dla $n=1$ mamy $a^2=a+1$. Dodatnim rozwiązaniem jest $a=\frac{1+\sqrt5}{2}$. Ponieważ $a>1$ i $a_1=1$, ciąg jest rosnący.

Po podstawieniu $a_n=a_1q^{n-1}$ do $(a_n)^2=a_{2n}$ otrzymujemy $a_1^2q^{2n-2}=a_1q^{2n-1}$. Niezerowe czynniki można skrócić, więc $a_1=q$. Zatem $a_n=a_1q^{n-1}=a_1^n$.

Warunek dla trzech kolejnych wyrazów to $y^2=x(x-y)$. Po podzieleniu przez $x^2$ i oznaczeniu $r=y/x>0$ mamy $r^2+r-1=0$. Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $r=(\sqrt5-1)/2$.

Z $a_1+a_3=5$ i $a_1^2+a_3^2=17$ wynika $a_1a_3=4$, więc $\{a_1,a_3\}=\{1,4\}$. Monotoniczność wyklucza ujemny iloraz. Otrzymujemy $q=2,a_1=1$ albo $q=1/2,a_1=4$.