MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 164

W obu podpunktach iloraz $a_{n+1}/a_n$ jest stały, więc ciągi są geometryczne.

a) $q=1/3$. Wyrazy są ujemne i zbliżają się do zera, więc ciąg jest rosnący.

b) $q=-3/4$. Znaki wyrazów zmieniają się, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi $y^2=xz$. Po podstawieniu danych otrzymujemy kolejno: $144=3x$; $900=-15x$; $4=-2x$; $4=\frac{x\sqrt2}{2}$; $x^2=\frac19$; $x^4=\frac{16}{81}$.

Z $aq^3=4a$ wynika $q=\sqrt[3]4$. Zatem $x=aq$ i $y=aq^2$. Podstawienie trzech podanych wartości $a$ daje wyniki.

Monotoniczność wyklucza ujemny iloraz.

a) $q^4=16$, więc $q=2$ i $a_{13}=512$.

b) $9q^2=4$, więc $q=2/3$ i $a_5=36(2/3)^4=64/9$.

c) $q^6=1/125$, więc $q=1/\sqrt5$ i $a_5=a_2q^3=10$.

a) Iloraz $(3^{n+1}+2)/(3^n+2)$ zależy od $n$, więc ciąg nie jest geometryczny.

b) $a_n=(-2)^{n-1}$, więc jest geometryczny.

c) Odejmowanie $5$ od $2^{n+1}$ niszczy stałość ilorazu; ciąg nie jest geometryczny.

d) $a_n=\frac{2^n(5^n+1)}{2(5^n+1)}=2^{n-1}$, więc jest geometryczny.

Iloczyn modułów jest zerem dokładnie dla pierwiastków obu trójmianów. Są to $-4,-1$ oraz $-\frac14,-\frac1{16}$. W kolejności $-4,-1,-\frac14,-\frac1{16}$ każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie przez $1/4$, a wartości rosną.

W każdym podpunkcie podstawiamy warunek $y^2=xz$ i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Korzystamy z $y^2=xz$ oraz dodatniości.

a) Kwadrat środkzego wyrażenia i iloczyn skrajnych są równe $x^4z^4$.

b) $(1/y)^2=1/(xz)$.

c) Oba kolejne ilorazy redukują się, dzięki $y^2=xz$, do $z/x$.