MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 161

Dla kolejnych wyrazów $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$.

a) $q=\frac2{10/7}=\frac75$, więc $|q|>1$.

b) $q=\frac{16/3}{-16/3}=-1$, więc $|q|=1$.

c) $q=\frac{2{,}1}{-2{,}8}=-\frac34$, więc $|q|<1$.

d) $q=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2$, więc $0<q<1$.

Korzystamy ze wzoru $a_1=\frac{a_n}{q^{n-1}}$.

a) $a_1=\frac{4/9}{(-1/3)^5}=-108$. b) $a_1=\frac{-24}{(\sqrt2)^6}=-3$.

c) $a_1=\frac{2{,}5}{(0{,}2)^4}=1562{,}5$. d) $\log_3\frac13=-1$, zatem $a_1=\frac6{(-1)^3}=-6$.

W ciągu geometrycznym wszystkie ilorazy sąsiednich niezerowych wyrazów są równe. Tu otrzymujemy:

a) $-3$ i $-2$; b) $\frac23$ i $\frac7{12}$; c) $\frac32$ i $-\frac34$; d) $\frac1{\sqrt2}$ i $2\sqrt2$.

W każdym podpunkcie już dwie wskazane wartości ilorazu są różne, więc żaden z ciągów nie jest geometryczny.

Z pierwszych wyrazów $q=(-\frac74):(\frac78)=-2$. Dla $a_n=224$ mamy $a_{n-1}=\frac{224}{-2}=-112$, a $a_{n+1}=224\cdot(-2)=-448$.

Wyznaczamy $q=a_2/a_1$ i stosujemy $a_n=a_1q^{n-1}$.

a) $q=4$, więc $a_n=2^{2n-3}$ i $a_5=128$.

b) $q=\frac23$, więc $a_n=9(\frac23)^{n-1}$ i $a_5=\frac{16}{9}$.

c) $q=-\frac34$, więc $a_n=16(-\frac34)^{n-1}$ i $a_5=\frac{81}{16}$.

d) $q=-\sqrt3$, więc $a_n=(-\sqrt3)^n$ i $a_5=-9\sqrt3$.

a) $q=\frac2{\sqrt5-1}=\frac{\sqrt5+1}{2}$. Mnożąc kolejno przez $q$, dostajemy $a_4=\frac{\sqrt5+3}{2}$ i $a_5=\sqrt5+2$.

b) $q=\frac4{\sqrt3+1}=2(\sqrt3-1)$. Stąd $a_4=16(2-\sqrt3)$ i $a_5=32(3\sqrt3-5)$.

Dzieląc dane wyrazy, wyznaczamy odpowiednią potęgę $q$.

a) $q^3=\frac1{27}$, więc $q=\frac13$ i $a_1=18$.

b) $q^3=-8$, więc $q=-2$ i $a_1=\frac34$.

c) $q^4=\frac1{16}$, więc $q=\pm\frac12$ i odpowiednio $a_1=-4$ lub $4$.

d) $q^2=1$, więc $q=\pm1$ i $a_1=2+\sqrt5$ lub $-2-\sqrt5$.

Z $a_{35}=32a_{20}$ wynika $q^{15}=32=2^5$, zatem $q^3=2$. Wobec tego $\frac{a_{30}}{a_{18}}=q^{12}=(q^3)^4=16$.

Po zapisaniu wyrazów wzorem ogólnym i skróceniu niezerowych czynników otrzymujemy $\frac{a_{51}a_{52}}{a_{86}a_{14}}=q^{50+51-85-13}=q^3=1000.$ Stąd $q=10$.