MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 160

Niech wielokąt ma $n$ boków, a najkrótszy z nich długość $a$. Ponieważ różnica wynosi $3$, najdłuższy bok spełnia $a+3(n-1)=23,$ czyli $a=23-3(n-1).$ Obwód jest sumą wszystkich długości: $100=\frac n2(a+23) =\frac n2\bigl(23-3(n-1)+23\bigr) =\frac n2(49-3n).$ Stąd $n(49-3n)=200,$ $3n^2-49n+200=0.$ Wyróżnik wynosi $1$, więc $n=\frac{49\pm1}{6}.$ Otrzymujemy $n=8$ albo $n=\frac{50}{3}$. Jedynym naturalnym rozwiązaniem jest $n=8$; wtedy najkrótszy bok ma długość $2$ cm.

W każdym podpunkcie oznaczamy liczbę składników przez $n$, a ostatni wyraz przez $x$.

a) Mamy $a_1=7$, $r=-3$, więc $x=10-3n$. Warunek sumy daje $\frac n2(7+x)=-45,$ czyli $3n^2-17n-90=0.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $n=9$, zatem $x=-17$.

b) Mamy $a_1=-5$, $r=7$, więc $x=7n-12$. Równanie $\frac n2(-5+x)=75$ prowadzi do $7n^2-17n-150=0.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $n=6$, więc $x=30$.

c) Mamy $a_1=-3$, $r=2$, więc $x=2n-5$. Z równania $\frac n2(-3+x)=4x$ otrzymujemy $n^2-12n+20=0.$ Stąd $n=2$ lub $n=10$, a odpowiednio $x=-1$ lub $x=15$.

d) Mamy $a_1=4$, $r=-\frac32$, więc $x=\frac{11-3n}{2}.$ Równanie $\frac n2(4+x)=2x+3$ daje $3n^2-31n+56=0.$ Jedynym naturalnym rozwiązaniem jest $n=8$, stąd $x=-\frac{13}{2}=-6{,}5$.

Ponieważ odcinki są prostopadłe do wysokości, są równoległe do boku $AB$. Z podobieństwa trójkątów długości kolejnych odcinków, licząc od wierzchołka $C$, wynoszą $\frac{a}{n+1},\quad\frac{2a}{n+1},\quad\ldots,\quad\frac{na}{n+1}.$ Tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa $S_n=\frac{a}{n+1}(1+2+\ldots+n) =\frac{a}{n+1}\cdot\frac{n(n+1)}2 =\frac{an}{2}.$ Obwód trójkąta wynosi $3a$. Ponieważ $a>0$, $S_n>3a\iff\frac{an}{2}>3a \iff n>6.$ Dla naturalnych $n$ oznacza to $n\ge7$.

Wielkość $x_n$ jest sumą dziesięciu wyrazów $a_{10n+1},a_{10n+2},\ldots,a_{10n+10}.$ Pierwszy z nich to $a+10nr$, a ostatni $a+(10n+9)r$. Zatem $x_n=\frac{10}{2}\bigl(2a+(20n+9)r\bigr) =10a+(100n+45)r.$ Różnica kolejnych wyrazów wynosi $x_{n+1}-x_n=100r,$ a więc jest stała niezależnie od $n$. Ciąg $(x_n)$ jest arytmetyczny (rosnący, stały albo malejący zależnie od znaku $r$). Dla $n=1$: $x_1=10a+145r.$ Otrzymujemy opis rekurencyjny $\begin{cases} x_1=10a+145r,\\ x_{n+1}=x_n+100r & \text{dla }n\ge1. \end{cases}$

Najmniejsza możliwa suma $m$ różnych dodatnich liczb naturalnych to $1+2+\ldots+m=\frac{m(m+1)}2.$ Dla $m=50$ otrzymujemy $\frac{50\cdot51}{2}=1275>1250,$ więc $50$ składników jest niemożliwe. Natomiast $1+2+\ldots+49=\frac{49\cdot50}{2}=1225\le1250,$ zatem może istnieć rozkład na $49$ składników.

Korzystamy z sumy liczb od $1$ do $50$, równej $1275$, i pomijamy składnik $25$: $1250=1+2+\ldots+24+26+27+\ldots+50.$ Wszystkie $49$ składników są dodatnie i różne, a wcześniejsze oszacowanie dowodzi maksymalności ich liczby.

a) Przed setnym wierszem zapisano $1+2+\ldots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$ liczb. Pierwszą liczbą w setnym wierszu jest więc $4951$.

b) Pierwszy wyraz w $n$-tym wierszu ma postać $p_n=1+(1+2+\ldots+(n-1)) =1+\frac{n(n-1)}2.$ Ostatnim wyrazem tego wiersza jest $q_n=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.$ Wiersz zawiera $n$ kolejnych liczb, zatem jego suma wynosi $S_n=\frac n2(p_n+q_n).$ Ponieważ $p_n+q_n =1+\frac{n(n-1)+n(n+1)}2 =1+n^2,$ otrzymujemy $S_n=\frac n2(n^2+1)=\frac{n^3+n}{2}.$