MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 162

Dla dodatniego ciągu iloczyn wyrazów o indeksach symetrycznych względem $k$ jest potęgą $a_k$.

a) Dane równanie ma postać $a_9^4=81$, więc $a_9=3$.

b) Dane dają $a_{15}^4=10\,000$, czyli $a_{15}=10$. Szukany iloczyn to $a_{15}^5=100\,000$.

c) $a_9^3=2\sqrt2=(\sqrt2)^3$, więc $a_9=\sqrt2$. Szukany iloczyn wynosi $a_9^5=4\sqrt2$.

Z ilorazu danych wyrazów wyznaczamy potęgę $q$, a potem $a_1$.

a) $q^5=-1$, więc $q=-1$, $a_1=-6$.

b) $q^3=1000$, więc $q=10$.

c) $q^2=0{,}04$, więc $q=\pm\frac15$.

d) $q^4=25$, więc $q=\pm\sqrt5$. Po podstawieniu otrzymujemy wzory podane w odpowiedzi.

W pięciowyrazowym ciągu zachodzi $y=xq^4$. Każde dodatnie $q^4$ daje dwa rzeczywiste ilorazy o przeciwnych znakach. Po obliczeniu $q$ i kolejnych iloczynów $xq,xq^2,xq^3$ otrzymujemy warianty z odpowiedzi.

Rozwiązujemy równanie $a_n$ równe kolejno każdej badanej liczbie, pamiętając, że $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą.

a) $x=a_1$, $z=a_6$, natomiast dla $y$ nie istnieje całkowity indeks.

b) $y=a_8$, $z=a_9$, a liczba $x=8$ nie występuje.

c) $x=a_4$, $y=a_6$, $z=a_9$.

Niech krawędzie będą równe $a,aq,aq^2$, gdzie $a,q>0$. Wtedy $\frac{P_c}{4(a+aq+aq^2)}=\frac{2a^2(q+q^2+q^3)}{4a(1+q+q^2)}=\frac{aq}{2}=10.$ Środkowa krawędź $aq=20$, a objętość jest sześcianem środkowego wyrazu: $V=(aq)^3=8000$.

a) $1=a_{13}=a_1(\sqrt2)^{12}=64a_1$, więc $a_1=\frac1{64}$.

b) Dla $a_1=\frac18$ nierówność $\frac18(\sqrt2)^{n-1}<1$ jest równoważna $n-1<6$. Spełniają ją indeksy $1,\ldots,6$.

Mamy $a_{33}=a_1q^{32}<0$. Ponieważ $q^{32}>0$, musi być $a_1<0$. Także $q^{332}>0$, zatem $a_{333}=a_1q^{332}<0$, co kończy dowód.

Ze wzoru ogólnego $a_{55}a_{555}=a_1^2q^{54+554}=a_1^2q^{608}.$ Oba czynniki są dodatnie, ponieważ $a_1\ne0$, $q\ne0$ i wykładnik $608$ jest parzysty. Iloczyn jest więc dodatni.

Dane oznaczają $a_1^3q^{129}<0$. O znaku decyduje więc iloczyn $a_1q$.

a) $a_1^2q^{886}>0$. b) $a_1^3q^{219}<0$. c) $a_1^3q^{177}<0$. d) $a_1^4q^{172}>0$.