MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 159

Mamy $a_n=5+2(n-1)=2n+3.$ Suma wszystkich wyrazów poprzedzających ostatni wynosi $S_{n-1}=\frac{n-1}{2}(a_1+a_{n-1}) =\frac{n-1}{2}\bigl(5+(2n+1)\bigr) =(n-1)(n+3).$ Ostatni wyraz jest trzy razy mniejszy od tej sumy, czyli $S_{n-1}=3a_n.$ Zatem $(n-1)(n+3)=3(2n+3),$ $n^2-4n-12=0,$ $(n-6)(n+2)=0.$ Dodatnim rozwiązaniem jest $n=6$. Wtedy $a_6=15$ i $S_6=\frac62(5+15)=60.$

W każdym podpunkcie liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

a) Pierwszy wyraz to $2$, a różnica $3$: $S_n=\frac n2\bigl(2\cdot2+(n-1)3\bigr) =\frac{n(3n+1)}2.$

b) Pierwszy wyraz to $5$, a różnica $7$: $S_n=\frac n2\bigl(10+7(n-1)\bigr) =\frac{n(7n+3)}2.$

c) Pierwszy wyraz to $11$, a różnica $23$: $S_n=\frac n2\bigl(22+23(n-1)\bigr) =\frac{n(23n-1)}2.$

d) Pierwszy wyraz to $r$, a różnica $k$: $S_n=\frac n2\bigl(2r+(n-1)k\bigr) =\frac{kn^2+(2r-k)n}{2}.$

Niech $r$ będzie różnicą ciągu. Mamy $a_{101}=1+100r,\qquad a_{200}=1+199r.$ Suma wyrazów od $a_{101}$ do $a_{200}$ jest równa $399$, więc $399=S_{200}-S_{100} =\frac{100}{2}(a_{101}+a_{200}) =50(2+299r).$ Stąd $2+299r=\frac{399}{50},\qquad r=\frac1{50}.$ Podobnie $S_{300}-S_{200} =\frac{100}{2}(a_{201}+a_{300}) =50\left(2+499\cdot\frac1{50}\right) =100+499=599.$

Argumenty $2,5,8,\ldots,29$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$. Jest ich $n=\frac{29-2}{3}+1=10,$ a ich suma wynosi $\frac{2+29}{2}\cdot10=155.$ Z liniowości funkcji: $\sum f(x)=\sum(5x-2)=5\sum x-2\cdot10 =5\cdot155-20=755.$

Wystarczą ciągi stałe, które także są ciągami arytmetycznymi.

a) Dla $a_n=1$ mamy $S_{33}=33\cdot1=33.$

b) Dla $a_n=-1$ mamy $S_{55}=55\cdot(-1)=-55.$

c) Dla $a_n=\frac19$ mamy $S_{81}=81\cdot\frac19=9=\sqrt{81}.$

d) Dla $a_n=8$ mamy $S_8=8\cdot8=64=8^2.$

a) Są to dokładnie czterocyfrowe wielokrotności $9$, od $1008=9\cdot112$ do $9999=9\cdot1111$. Jest ich $1000$, więc $S=\frac{1008+9999}{2}\cdot1000=5\,503\,500.$

b) Suma wszystkich $900$ liczb trzycyfrowych wynosi $\frac{100+999}{2}\cdot900=494\,550.$ Trzycyfrowe wielokrotności $3$ biegną od $102$ do $999$; jest ich $300$, a ich suma to $\frac{102+999}{2}\cdot300=165\,150.$ Szukana suma wynosi $494\,550-165\,150=329\,400.$

c) Dla ustalonej cyfry jedności $u$ suma liczb $100h+10t+u$, gdzie $h=1,\ldots,9$ i $t=0,\ldots,9$, wynosi $100\cdot10(1+\ldots+9)+10\cdot9(0+\ldots+9)+90u.$ Dla $u=3$ otrzymujemy $49\,320$, a dla $u=7$ — $49\,680$. Łącznie: $49\,320+49\,680=99\,000.$

Usuwamy niewymierność z mianownika współczynnika ciągu $(b_n)$: $\frac2{\sqrt5+1}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$ Suma współczynników przy $n$ w trzech wzorach wynosi $\frac{\sqrt5+1}{2}+\frac{\sqrt5-1}{2}-\sqrt5=0.$ Dlatego dla każdego $n$: $a_n+b_n+c_n=0\cdot n+6+6+6=18.$ Sumując stronami dla $n=1,\ldots,100$, dostajemy $A+B+C=\sum_{n=1}^{100}(a_n+b_n+c_n) =100\cdot18=1800.$

Oznaczmy $a_1=x$. Wtedy $r=2x$, a ponieważ ciąg jest rosnący, $x>0$. Mamy $a_n=x+(n-1)2x=(2n-1)x.$ Suma wszystkich $100$ wyrazów wynosi $S_{100}=\frac{100}{2}(x+199x)=10\,000x.$ Wyrazy o numerach parzystych mają postać $a_{2k}=(4k-1)x,\qquad k=1,\ldots,50.$ Ich suma to $x\sum_{k=1}^{50}(4k-1) =x\left(4\cdot\frac{50\cdot51}{2}-50\right) =5050x.$ Udział procentowy wynosi $\frac{5050x}{10\,000x}\cdot100\%=50{,}5\%.$