MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 158

a) Po obu stronach jest po $9$ składników. Lewa suma wynosi $\frac{(1+x)+(17+x)}2\cdot9=81+9x,$ a prawa $\frac{(2-x)+(18-x)}2\cdot9=90-9x.$ Zatem $81+9x=90-9x,\qquad 18x=9,$ czyli $x=\frac12$.

b) Po obu stronach jest po $13$ składników. Lewa suma to $\frac{(1+x)+(37+13x)}2\cdot13 =13(19+7x),$ a prawa $\frac{(2+3x)+(26+39x)}2\cdot13 =13(14+21x).$ Stąd $19+7x=14+21x,\qquad 14x=5,$ więc $x=\frac5{14}$.

Korzystamy z równości $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.$

a) $5+6+\ldots+10=\frac{5+10}{2}\cdot6=45,$ więc $\frac{n(n+1)}2=45$ i $n=9$.

b) $6+7+\ldots+15=\frac{6+15}{2}\cdot10=105,$ zatem $n=14$.

c) $7+8+\ldots+21=\frac{7+21}{2}\cdot15=210,$ zatem $n=20$.

d) $10+11+\ldots+45=\frac{10+45}{2}\cdot36=990,$ zatem $n=44$.

Jeśli ciąg ma $n$ wyrazów, to jego suma wynosi $S_n=\frac{3+123}{2}\,n=63n.$ Warunek $S_n=567$ daje $63n=567,\qquad n=9.$ Trzeba jeszcze sprawdzić, czy taki ciąg spełnia warunek naturalności wyrazów. Jego różnica musiałaby wynosić $r=\frac{123-3}{9-1}=\frac{120}{8}=15.$ Ciąg $3,18,33,\ldots,123$ ma wszystkie wyrazy naturalne, zatem wymagany ciąg istnieje.

Podzielmy wyrazy na kolejne bloki po $50$. Suma pierwszego bloku wynosi $B_1=S_{50}=20,$ a drugiego $B_2=S_{100}-S_{50}=60-20=40.$ Sumy kolejnych bloków tej samej długości w ciągu arytmetycznym także tworzą ciąg arytmetyczny: każdy z $50$ wyrazów następnego bloku jest większy od odpowiadającego mu wyrazu o $50r$, więc różnica sum bloków jest stała. Stąd $B_3=B_2+(B_2-B_1)=40+20=60.$ Zatem $S_{150}=B_1+B_2+B_3=20+40+60=120.$

Suma kątów wewnętrznych dziesięciokąta wynosi $(10-2)\cdot180^\circ=1440^\circ.$ Niech najmniejszy kąt ma miarę $\alpha$. Największy ma wtedy miarę $\alpha+9\cdot14^\circ=\alpha+126^\circ.$ Ze wzoru na sumę ciągu: $\frac{\alpha+(\alpha+126^\circ)}2\cdot10=1440^\circ.$ Stąd $10\alpha+630^\circ=1440^\circ,\qquad \alpha=81^\circ.$ Największy kąt ma miarę $81^\circ+126^\circ=207^\circ$.

a) Wspólny czynnik sum można skrócić: $a_n=\frac{5(1+2+\ldots+n)}{7(1+2+\ldots+n)}=\frac57.$ Ciąg jest stały.

b) Licznik jest sumą $n$ wyrazów od $\frac12$ do $n-\frac12$: $a_n=\frac{\frac n2\left(\frac12+n-\frac12\right)}n =\frac n2.$ Ciąg jest rosnący.

c) $a_n=\frac{-2(1+2+\ldots+n)}{4n} =\frac{-n(n+1)}{4n}=-\frac{n+1}{4}.$ Ciąg jest malejący.

d) Licznik jest sumą ciągu o pierwszym wyrazie $-10$ i różnicy $8$: $-10-2+6+\ldots+(8n-18) =\frac n2(-10+8n-18)=2n(2n-7).$ Zatem $a_n=\frac{2n(2n-7)}{-(2n-7)}=-2n.$ Ciąg jest malejący.

Z warunku o sumie: $49=S_7=\frac72(2a_1+6r)=7(a_1+3r),$ więc $a_1+3r=7.$ W szczególności $a_4=7$. Mamy $a_3=7-r,\qquad a_6=7+2r.$ Warunek iloczynu daje $(7-r)(7+2r)=52,$ $2r^2-7r+3=0,$ stąd $r=3\quad\text{lub}\quad r=\frac12.$

Dla $r=3$ mamy $a_1=7-9=-2$, zatem $a_n=-2+3(n-1)=3n-5.$ Równość $a_n=100$ daje $n=35$.

Dla $r=\frac12$ mamy $a_1=7-\frac32=\frac{11}{2}$, zatem $a_n=\frac{11}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac n2+5.$ Równość $a_n=100$ daje $n=190$.

Korzystamy ze wzorów $a_n=a_1+(n-1)r,\qquad S_n=\frac n2(a_1+a_n).$

a) $a_{15}=2+14\cdot5=72,\qquad S_{15}=\frac{15}{2}(2+72)=555.$

b) $61=7+(n-1)6\implies n=10,$ $S_{10}=\frac{10}{2}(7+61)=340.$

c) $-84=\frac n2(15-29)=-7n\implies n=12,$ $r=\frac{-29-15}{12-1}=-4.$

d) $1090=\frac{20}{2}(14+19r)\implies r=5,$ $a_{20}=7+19\cdot5=102.$

e) $488=\frac n2\bigl(16+3(n-1)\bigr) =\frac n2(3n+13).$ Dodatnim rozwiązaniem jest $n=16$, a $a_{16}=8+15\cdot3=53.$

f) Z $a_n=74$ mamy $a_1=78-4n$. Warunek sumy: $720=\frac n2(a_1+74)=n(76-2n).$ Stąd $n^2-38n+360=0,$ więc $n=18$ lub $n=20$. Odpowiednio $a_1=6$ lub $a_1=-2$.