MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 157

W każdym podpunkcie sumujemy kolejne liczby całkowite, więc korzystamy ze wzoru $S=\frac{\text{pierwszy składnik}+\text{ostatni składnik}}2\cdot \text{liczba składników}.$

a) Składników jest $80$: $S=\frac{1+80}{2}\cdot80=3240.$

b) Składników jest $120-20+1=101$: $S=\frac{20+120}{2}\cdot101=7070.$

c) Składników jest $60$: $S=\frac{-60+(-1)}2\cdot60=-1830.$

d) Składników jest $-30-(-70)+1=41$: $S=\frac{-70+(-30)}2\cdot41=-2050.$

Stosujemy $S_n=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr).$

a) $a_1=6$, $r=7$: $S_{13}=\frac{13}{2}(12+12\cdot7)=624.$

b) $a_1=-91$, $r=11$: $S_{20}=10(-182+19\cdot11)=270.$

c) $a_1=\frac34$, $r=\frac54$: $S_{24}=12\left(\frac32+23\cdot\frac54\right)=363.$

d) $a_1=-0{,}12$, $r=-0{,}33$: $S_{18}=9\bigl(-0{,}24+17\cdot(-0{,}33)\bigr)=-52{,}65.$

e) $a_1=50$, $r=-1$: $S_{99}=\frac{99}{2}(100-98)=99.$

f) Mamy $a_1=\sqrt3-1$ i $r=\sqrt3-1$, więc $S_{15}=\frac{15}{2}\cdot16(\sqrt3-1)=120(\sqrt3-1).$

Szukane ułamki mają postać $\frac{k}{7}$ i spełniają $10<\frac{k}{7}<15,$ czyli $70<k<105.$ Zatem $k$ przyjmuje wartości od $71$ do $104$. Jest ich $104-71+1=34.$ Ich suma wynosi $\frac{71+72+\ldots+104}{7} =\frac1{7}\cdot\frac{71+104}{2}\cdot34 =\frac{2975}{7}=425.$

Do $700$ po zaokrągleniu do setek otrzymujemy wszystkie liczby naturalne od $650$ do $749$ włącznie. Jest ich $749-650+1=100.$ Suma wynosi $\frac{650+749}{2}\cdot100 =1399\cdot50=69\,950.$

Ze skanu strony odczytujemy, że pierwsza figura ma $10$ patyczków i $9$ kulek. Każda następna ma o $4$ patyczki i o $3$ kulki więcej. Liczby użytych elementów w $n$-tej figurze są więc równe $p_n=10+4(n-1)=4n+6,$ $q_n=9+3(n-1)=3n+6.$ Dla dwudziestej figury $p_{20}=86$ i $q_{20}=66$. W całym ciągu figur zużyto $\sum_{n=1}^{20}p_n=\frac{10+86}{2}\cdot20=960$ patyczków oraz $\sum_{n=1}^{20}q_n=\frac{9+66}{2}\cdot20=750$ kulek.

a) Dla $a_1=-14$, $r=4$: $S_n=\frac n2\bigl(-28+4(n-1)\bigr)=2n(n-8).$ Równanie $2n(n-8)=418$ daje $n^2-8n-209=0,$ którego dodatnim rozwiązaniem jest $n=19$.

b) Dla $a_1=-8$, $r=9$: $S_n=\frac n2(9n-25).$ Z równania $\frac n2(9n-25)=498$ otrzymujemy $9n^2-25n-996=0$, a dodatnim rozwiązaniem jest $n=12$.

c) Mamy $a_1=\frac13$, $r=\frac59$ oraz $S=\frac{407}{3}$. Zatem $S_n=\frac n2\left(\frac23+(n-1)\frac59\right) =\frac{n(5n+1)}{18}.$ Równanie $\frac{n(5n+1)}{18}=\frac{407}{3}$ ma dodatnie rozwiązanie $n=22$.

Wyłączamy wspólny czynnik $n$: $n+3n+5n+\ldots+(2n-1)n =n\bigl(1+3+5+\ldots+(2n-1)\bigr).$ W nawiasie jest suma $n$ początkowych liczb nieparzystych. Jest to ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $1$ i ostatnim $2n-1$, więc $1+3+\ldots+(2n-1) =\frac{1+(2n-1)}2\cdot n=n^2.$ Zatem lewa strona jest równa $n\cdot n^2=n^3,$ co dowodzi wzoru.