MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 153

a) Obliczamy trzy początkowe wyrazy:

$a_1=2,\qquad a_2=3,\qquad a_3=\sqrt{14}.$

Różnice $a_2-a_1=1$ oraz $a_3-a_2=\sqrt{14}-3$ nie są równe. Ciąg nie jest arytmetyczny.

b) Rozkładamy licznik:

$$a_n=\frac{(n-2)(n+2)}{n+2}=n-2.$$

Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy $1$.

c) Trzy początkowe wyrazy to

$a_1=5,\qquad a_2=5,\qquad a_3=11.$

Kolejne różnice wynoszą $0$ i $6$, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Z zaznaczonych punktów odczytujemy $a_1=-4$ oraz $a_3=2$. Ponieważ

$a_3-a_1=2r,$

mamy

$2-(-4)=2r,$

czyli $r=3$. Wzór ogólny:

$$a_n=-4+3(n-1)=3n-7.$$

Pięć początkowych wyrazów to

$-4,\ -1,\ 2,\ 5,\ 8.$

Na wykresie odpowiadają im punkty

$$(1,-4),\ (2,-1),\ (3,2),\ (4,5),\ (5,8).$$

Ponieważ $r=3>0$, ciąg jest rosnący.

Każdy wyraz zapisujemy jako

$a_k=a_1+(k-1)r.$

W każdym wierszu, kolumnie i na każdej przekątnej suma indeksów jest równa $15$:

$$\begin{aligned} &4+9+2=3+5+7=8+1+6=15,\\ &4+3+8=9+5+1=2+7+6=15,\\ &4+5+6=2+5+8=15. \end{aligned}$$

Dla dowolnych trzech pól o indeksach $i,j,k$ z sumą $15$ suma wpisanych wyrazów wynosi

$$a_i+a_j+a_k =3a_1+(i+j+k-3)r =3a_1+12r =3a_5.$$

Wszystkie osiem rozpatrywanych sum jest więc takie samo.

Punkty $(3,2)$ i $(9,-2)$ należą do prostej zawierającej wykres ciągu. Jej współczynnik kierunkowy, równy różnicy ciągu, wynosi

$$r=\frac{-2-2}{9-3}=-\frac23.$$

Równanie prostej przechodzącej przez punkt $(3,2)$:

$$y-2=-\frac23(x-3),$$

czyli

$y=-\frac23x+4.$

Dla $x=0$ otrzymujemy $y=4$, a dla $y=0$ — $x=6$.

Rozwijamy oba wielomiany:

$w(x)=x^3+2x^2,$

$$v(x)=(3-x-x^2)(x+1) =-x^3-2x^2+2x+3.$$

Zatem

$p(x)=w(x)+v(x)=2x+3.$

Ponieważ wykres ciągu jest zawarty w wykresie $p$, mamy

$a_n=p(n)=2n+3.$

Jest to ciąg arytmetyczny o dodatniej różnicy $2$, więc jest rosnący. Ponadto

$a_{10}=2\cdot10+3=23.$

Oznaczmy liczby wyrazów przez $N_a$ i $N_b$.

Dla ciągu $(a_n)$:

$a_{11}-a_5=6r_a=5,$

więc $r_a=\frac56$. Z warunku dotyczącego wyrazów skrajnych:

$$(N_a-1)\frac56=55,$$

zatem $N_a-1=66$ i $N_a=67$.

Dla ciągu $(b_n)$:

$b_{36}-b_{28}=8r_b=6,$

więc $r_b=\frac34$. Następnie

$$(N_b-1)\frac34=48,$$

skąd $N_b-1=64$ i $N_b=65$.

Oznaczmy $u=|4x-10|$. Równanie

$|u-6|=3$

daje $u=9$ lub $u=3$.

Dla $|4x-10|=9$ otrzymujemy

$x=\frac{19}{4}\quad\text{lub}\quad x=\frac14.$

Dla $|4x-10|=3$ otrzymujemy

$x=\frac{13}{4}\quad\text{lub}\quad x=\frac74.$

Po uporządkowaniu od największego do najmniejszego:

$$\frac{19}{4},\quad \frac{13}{4},\quad \frac74,\quad \frac14.$$

Każda kolejna różnica jest równa $-\frac32$.