MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 152

a) Równanie $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ ma rozwiązania

$$x=\frac\pi4+2k\pi \quad\text{lub}\quad x=\frac{3\pi}4+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Każda z tych dwóch rodzin jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $2\pi$.

b) Równanie $\cos x=-\frac12$ daje

$$x=\frac{2\pi}3+2k\pi \quad\text{lub}\quad x=\frac{4\pi}3+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Ponownie każda rodzina jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $2\pi$.

c) Rozwiązania równania $\operatorname{tg}x=\sqrt3$ mają postać

$x=\frac\pi3+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z,$

czyli tworzą jeden ciąg arytmetyczny o różnicy $\pi$.

Trzy liczby można ustawić w ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Rozpatrujemy trzy możliwości.

Jeśli wyrazem środkowym jest $x$, to

$2x=y+z,$

$2(2+2k)=12k-8+4-6k,$

skąd $k=4$.

Jeśli wyrazem środkowym jest $y$, to

$2y=x+z,$

$2(12k-8)=2+2k+4-6k,$

skąd $k=\frac{11}{14}$.

Jeśli wyrazem środkowym jest $z$, to

$2z=x+y,$

$2(4-6k)=2+2k+12k-8,$

skąd $k=\frac7{13}$.

Niech ciąg ma $2m$ wyrazów, gdzie $m\geq2$, a jego różnica wynosi $r$. Suma wyrazów skrajnych jest równa

$$a_1+a_{2m} =a_1+\big(a_1+(2m-1)r\big) =2a_1+(2m-1)r.$$

Dwoma wyrazami środkowymi są $a_m$ oraz $a_{m+1}$. Ich suma wynosi

$$a_m+a_{m+1} =\big(a_1+(m-1)r\big)+\big(a_1+mr\big) =2a_1+(2m-1)r.$$

Obie sumy są zatem równe.

Zapiszmy wyraz ciągu w postaci

$a_n=a_1+(n-1)r=(a_1-r)+nr.$

Po pomnożeniu podanej równości stronami otrzymujemy

$a_na_{4n}=a_{2n}^2.$

Podstawiamy wzory:

$$\big(a_1-r+nr\big)\big(a_1-r+4nr\big) =\big(a_1-r+2nr\big)^2.$$

Po rozwinięciu i redukcji wspólnych składników pozostaje

$nr(a_1-r)=0.$

Ponieważ $n>0$, zachodzi

$r=0\quad\text{lub}\quad a_1=r.$

W pierwszym przypadku, aby ilorazy były określone, $a_1\neq0$; w drugim $r\neq0$.

Warunek ciągu arytmetycznego ma postać

$$2\cdot\frac{(n-1)n}{2} =n+\frac{(n-2)(n-1)n}{6}.$$

Dla $n\in\mathbb N_+$ dzielimy przez $n$ i przekształcamy:

$$n-1=1+\frac{(n-2)(n-1)}6,$$ $$(n-2)\left(1-\frac{n-1}{6}\right)=0.$$

Stąd $n=2$ lub $n=7$. Dla $n=2$ otrzymujemy liczby $2,1,0$, które tworzą ciąg malejący. Dla $n=7$ są to

$7,\ 21,\ 35,$

czyli ciąg rosnący.

Niech trzy kolejne wyrazy mają postać

$4-r,\quad 4,\quad 4+r.$

Ich suma jest wtedy równa $12$. Korzystamy z drugiego warunku:

$$(4-r)^2+4^2+(4+r)^2=56.$$

Po uproszczeniu:

$48+2r^2=56,$

$r^2=4,$

więc $r=2$ lub $r=-2$.

Skoro ciąg arytmetyczny jest rosnący, jego różnica spełnia $r>0$. Mamy

$a_n=a_1+(n-1)r.$

Z własności Archimedesa istnieje liczba naturalna $N$ taka, że

$$N>1+\frac{1000-a_1}{r}.$$

Wtedy

$a_N=a_1+(N-1)r>1000.$

Dla każdego $n\geq N$ zachodzi $a_n\geq a_N>1000$, ponieważ ciąg jest rosnący. To dowodzi tezy.

Pierwszy wyraz i różnica wynoszą

$a_1=\frac{16}{3},\qquad r=\frac76.$

Zatem

$$a_n=\frac{16}{3}+(n-1)\frac76 =\frac{7n+25}{6}.$$

Wyraz jest całkowity wtedy i tylko wtedy, gdy $7n+25$ jest podzielne przez $6$. Ponieważ $7\equiv1\pmod6$, otrzymujemy

$n\equiv5\pmod6.$

Warunek $a_n\geq1000$ daje $n\geq854$. Najmniejszym takim indeksem, który ma resztę $5$ z dzielenia przez $6$, jest $n=857$. Wtedy

$a_{857}=\frac{7\cdot857+25}{6}=1004.$

a) Oznaczmy cyfry setek, dziesiątek i jedności odpowiednio przez $h,t,u$. Jeśli tworzą ciąg arytmetyczny, to

$h+u=2t.$

Suma cyfr liczby jest zatem równa

$h+t+u=3t,$

czyli jest podzielna przez $3$. Na mocy cechy podzielności przez $3$ sama liczba również jest podzielna przez $3$.

b) Liczba podzielna przez $15$ musi być podzielna przez $3$ i przez $5$. Pierwszy warunek jest już spełniony na mocy podpunktu a), a drugi oznacza $u=0$ lub $u=5$.

Dla $u=0$ równanie $h+u=2t$ ma postać $h=2t$. Dopuszczalne cyfry dają liczby

$210,\ 420,\ 630,\ 840.$

Dla $u=5$ mamy $h=2t-5$. Dopuszczalne wartości $t=3,4,5,6,7$ dają

$135,\ 345,\ 555,\ 765,\ 975.$