MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 154

Uporządkujmy wymiary w postaci

$x-r,\quad x,\quad x+r.$

Z sumy długości wszystkich krawędzi otrzymujemy

$4\big((x-r)+x+(x+r)\big)=12x=84,$

więc $x=7$. Wymiary mają zatem postać $7-r,7,7+r$.

Pole powierzchni całkowitej spełnia

$$2\big(7(7-r)+(7-r)(7+r)+7(7+r)\big)=244.$$

Po uproszczeniu:

$2(147-r^2)=244,$

$r^2=25.$

Możemy przyjąć $r=5$, bo zmiana znaku tylko odwraca kolejność wymiarów. Otrzymujemy $2,7,12$.

Oznaczmy różnice ciągów $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$ odpowiednio przez $r_a,r_b,r_c$.

a) Różnica kolejnych wyrazów $(d_n)$ jest równa

$$d_{n+1}-d_n=r_a+3r_b+5r_c.$$

Jest stała, więc $(d_n)$ jest arytmetyczny.

b) Otrzymujemy

$$d_{n+1}-d_n =\frac{r_a}{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\frac{r_b}{\sqrt5}.$$

Ta wielkość także nie zależy od $n$, zatem ciąg jest arytmetyczny.

c) Upraszczamy wzór:

$$\begin{aligned} d_n &=(2a_n+1)+(2b_n+1)+(2c_n+1)\\ &=2(a_n+b_n+c_n)+3. \end{aligned}$$

Stąd

$d_{n+1}-d_n=2(r_a+r_b+r_c),$

czyli ponownie jest to ciąg arytmetyczny.

Ciąg opisany wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego jest arytmetyczny. W obu podpunktach zerujemy więc współczynnik przy $n^2$.

a)

$$c_n=(2+3k)n^2+(-3-4k)n+6-7k.$$

Warunek $2+3k=0$ daje

$k=-\frac23.$

b)

$$d_n=(2k+3)n^2+(-3k-4)n+6k-7.$$

Warunek $2k+3=0$ daje

$k=-\frac32.$

Jeśli w pewnym wierszu znajdują się liczby $A,B,C$, to suma w następnym wierszu wynosi

$$\frac{B+C}{2}+\frac{A+C}{2}+\frac{A+B}{2} =A+B+C.$$

Suma jest więc taka sama w każdym wierszu. Skoro w setnym wierszu wynosi $21$, to

$x+y+z=21.$

Liczby $x,y,z$ tworzą ciąg arytmetyczny, zatem $x+y+z=3y$. Stąd $y=7$.

Zapiszmy $x=7-r$ i $z=7+r$, gdzie $r$ jest dodatnią liczbą całkowitą. Obie liczby mają być pierwsze. Ponieważ $x\geq2$, wystarczy sprawdzić $r=1,2,\ldots,5$. Jedynie dla $r=4$ otrzymujemy dwie liczby pierwsze:

$x=3,\qquad z=11.$

Po uporządkowaniu długości boków możemy je zapisać jako

$14-r,\quad14,\quad14+r,$

ponieważ ich suma wynosi $42$. Długości mają być naturalne, więc $r$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

Warunek trójkąta dla dwóch krótszych boków ma postać

$$(14-r)+14>14+r,$$

czyli

$r<7.$

Zatem $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$. Każda wartość daje inny zestaw długości, a więc inny trójkąt.

Z pierwszego warunku:

$a_1+a_2=2a_1+r=-6.$

Ponadto

$a_5=a_1+4r=11.$

Z układu tych dwóch równań otrzymujemy

$r=4,\qquad a_1=-5.$

Niech ciąg ma $N$ wyrazów. Suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa

$$a_{N-1}+a_N =2a_1+(2N-3)r=66.$$

Po podstawieniu:

$-10+4(2N-3)=66,$

skąd $N=11$.

Wzór ogólny ciągu ma postać

$a_n=-5+4(n-1)=4n-9.$

Jego wykres jest zawarty w prostej $y=4x-9$.

Suma trzech początkowych wyrazów wynosi

$a_1+a_2+a_3=3a_2=15,$

więc $a_2=5$. Suma trzech kolejnych wyrazów, czyli $a_4,a_5,a_6$, jest równa

$a_4+a_5+a_6=3a_5=-3,$

stąd $a_5=-1$. Ponieważ

$a_5-a_2=3r,$

mamy $-1-5=3r$, czyli $r=-2$. Zatem $a_1=7$ i

$a_n=7-2(n-1)=9-2n.$

a) Wyrazy o numerach nieparzystych opisuje ciąg

$b_n=a_{2n-1}=9-2(2n-1)=11-4n.$

b) Dla numerów parzystych:

$b_n=a_{2n}=9-4n.$