MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 151

Wysokości kolejnych stopni tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $19$ cm i różnicy $32$ cm. Wysokość $n$-tego stopnia wynosi

$h_n=19+32(n-1).$

a) Dla ósmego stopnia:

$h_8=19+7\cdot32=243\text{ cm}=2{,}43\text{ m}.$

b) Maksymalna wysokość to $3{,}71$ m, czyli $371$ cm. Rozwiązujemy nierówność

$19+32(n-1)\leq371.$

Stąd

$32(n-1)\leq352,\qquad n\leq12.$

Ponieważ $h_{12}=371$ cm, schody mają $12$ stopni.

Zapisujemy każdy wyraz jako $a_n=a_1+(n-1)r$. Z warunku zadania:

$$(a_{50}+a_{500})-(a_{10}+a_{100})=44.$$

Po podstawieniu:

$$\big(a_1+49r+a_1+499r\big) -\big(a_1+9r+a_1+99r\big)=44.$$

Stąd

$440r=44,$

czyli $r=\frac1{10}$.

W ciągu arytmetycznym $a_j-a_i=(j-i)r$.

a) Mamy

$a_{14}-a_5=9r=\frac94,$

więc $r=\frac14$. Różnica między ostatnim i pierwszym wyrazem wynosi

$a_{19}-a_1=18r=\frac92=4\frac12.$

b) Z warunku

$a_{19}-a_1=18r=-7\frac15=-\frac{36}{5}$

otrzymujemy

$r=-\frac25.$

Zatem

$a_{16}-a_3=13r=-\frac{26}{5}=-5\frac15.$

Trzy liczby $x,y,z$ w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy

$2y=x+z.$

a)

$2(k+9)=6-k+4k+19,$

$2k+18=3k+25,$

stąd $k=-7$.

b)

$2(k^2+k)=7+5,$

$k^2+k-6=0,$

$(k+3)(k-2)=0.$

Zatem $k=-3$ lub $k=2$.

c)

$2(k^2-3k)=8+k+1,$

$2k^2-7k-9=0.$

Ponieważ $\Delta=121$, dostajemy

$$\quad\text{lub}\quad k=\frac{7+11}{4}=\frac92.$$

Najpierw sprawdzamy, że w każdym podpunkcie obie kolejne różnice są takie same.

a)

$r=a_2-a_1=6m-1.$

Ciąg jest malejący, gdy $r<0$, czyli

$m<\frac16.$

b)

$r=a_2-a_1=2m+4.$

Ciąg jest rosnący, gdy $r>0$, więc

$m>-2.$

c)

$r=a_2-a_1=4m^2-1.$

Warunek $r>0$ daje

$4m^2-1>0,$

czyli $m<-\frac12$ lub $m>\frac12$.

a) Wzór ciągu to

$a_n=5+\frac32(n-1)=\frac{3n+7}{2}.$

Warunek $43\leq a_n\leq60$ prowadzi do $27\leq n\leq37$. Jest więc $11$ takich wyrazów.

b)

$a_n=8+\frac23(n-1)=\frac{2n+22}{3}.$

Z nierówności $15\leq a_n\leq20$ otrzymujemy $12\leq n\leq19$, czyli $8$ wyrazów.

c)

$a_n=\frac54-\frac12(n-1)=\frac{7-2n}{4}.$

Warunek $-13\leq a_n\leq-7$ daje $18\leq n\leq29$. Liczba wyrazów wynosi $12$.

d) Różnica jest równa $-\frac16$, więc

=-\frac{3n+35}{18}.$$ Z nierówności $-30\leq a_n\leq-20$ wynika $109\leq n\leq168$. Otrzymujemy $60$ wyrazów.

Mianowniki $y-z$ oraz $x+y$ są niezerowe, więc możemy pomnożyć równanie stronami:

$$(x-y)(x+y)=(y-z)(y+z).$$

Po zastosowaniu wzoru na różnicę kwadratów:

$x^2-y^2=y^2-z^2.$

Stąd

$x^2+z^2=2y^2.$

Oznacza to, że $y^2$ jest średnią arytmetyczną liczb $x^2$ i $z^2$. Ponieważ $0<x<y<z$, mamy także

$x^2<y^2<z^2.$

Zatem liczby $x^2,y^2,z^2$ w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.