MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 150

Korzystamy ze wzoru $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) $r=8-5=3$, więc

$a_n=5+3(n-1)=3n+2,\qquad a_{100}=302.$

b) $r=8\frac12-7=\frac32$, zatem

$a_n=7+\frac32(n-1)=\frac{3n+11}{2},$

$a_{100}=\frac{311}{2}=155\frac12.$

c) $r=2-9=-7$, więc

$a_n=9-7(n-1)=16-7n,\qquad a_{100}=-684.$

d) Różnica wynosi

$r=\frac7{20}-\frac9{40}=\frac18.$

Stąd

$$a_n=\frac9{40}+\frac{n-1}{8} =\frac{5n+4}{40},$$

$a_{100}=\frac{504}{40}=\frac{63}{5}=12\frac35.$

W każdym przypadku wyznaczamy różnicę $r$ i stosujemy wzór $a_n=a_1+(n-1)r$.

a) $r=-6$, zatem

$a_n=10-6(n-1)=16-6n.$

Ciąg jest malejący.

b) $r=\frac56$, więc

$a_n=\frac13+\frac56(n-1)=\frac{5n-3}{6}.$

Ciąg jest rosnący.

c) Każdy wyraz jest równy $1$, więc $a_n=1$ i ciąg jest stały.

d) $r=2-\sqrt2>0$, a zatem

$a_n=(2-\sqrt2)n+6\sqrt2+3.$

Ciąg jest rosnący.

e) $r=\sqrt3-3<0$, więc

$a_n=(\sqrt3-3)n+\sqrt3+23.$

Ciąg jest malejący.

f) $r=\pi-3>0$, zatem

$a_n=(\pi-3)n+13-7\pi.$

Ciąg jest rosnący.

Stosujemy wzór

$a_n=a_1+(n-1)r.$

a)

$a_{12}=-3+11\cdot5=52.$

b)

$40=a_1+6\cdot(-4),$

więc $a_1=64$.

c)

$100=10+(n-1)\cdot2{,}5,$

$n-1=36,$

zatem $n=37$.

d)

$37=-13+10r,$

więc $r=5$.

W trzech kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych.

a)

$x=\frac{10+20}{2}=15.$

b)

$x=\frac{-6+14}{2}=4.$

c) Ponieważ $-6\frac16=-\frac{37}{6}$,

$$x=\frac{-\frac13-\frac{37}{6}}2 =-\frac{13}{4}.$$

d)

$2x=\frac{8+36}{2}=22,$

stąd $x=11$.

e)

$\frac{x}{2}=\frac{7+30}{2}=\frac{37}{2},$

więc $x=37$.

f)

$x^2=\frac{3+29}{2}=16,$

zatem $x=-4$ lub $x=4$.

Po wstawieniu jedenastu liczb otrzymano łącznie $13$ wyrazów. Zatem

$$r=\frac{a_{13}-a_1}{12} =\frac{1111-111}{12} =\frac{250}{3}.$$

Przedostatni wyraz to $a_{12}$:

$$a_{12}=111+11\cdot\frac{250}{3} =\frac{3083}{3} =1027\frac23.$$

Różnica ciągu wynosi

$r=21-17=4.$

Wyraz bezpośrednio poprzedzający $77$ jest mniejszy o $4$, a następny — większy o $4$:

$77-4=73,\qquad 77+4=81.$

Porównujemy kolejne różnice.

a)

$30-13=47-30=64-47=17.$

Liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $17$.

b) Pierwsze dwie różnice są równe $\frac4{11}$, lecz ostatnia wynosi $\frac5{11}$. Zmieniamy ostatnią liczbę na $\frac2{11}$. Wtedy różnica każdego kroku wynosi $\frac4{11}$.

c)

$696-637=755-696=814-755=59.$

Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy $59$.

d) Dwie ostatnie różnice są równe $-1{,}2$, a pierwsza wynosi $-0{,}8$. Po zmianie pierwszej liczby z $0{,}3$ na $0{,}7$ dostajemy

$0{,}7,\ -0{,}5,\ -1{,}7,\ -2{,}9,$

czyli ciąg arytmetyczny o różnicy $-1{,}2$.