MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 149

Dobieramy dodatnie ciągi malejące i sprawdzamy ich ilorazy.

a) Niech $a_n=\frac1n$ i $b_n=\frac1{n^2}$. Wtedy

$c_n=\frac{1/n}{1/n^2}=n,$

więc $(c_n)$ jest rosnący.

b) Dla $a_n=b_n=\frac1n$ otrzymujemy $c_n=1$, czyli ciąg stały.

c) Dla $a_n=\frac1{n^2}$ i $b_n=\frac1n$ mamy $c_n=\frac1n$, więc ciąg jest malejący.

d) Niech

$$b_n=\frac1{4^n},\qquad a_n=\frac{2+(-1)^n}{4^n}.$$

Ciąg $(b_n)$ jest dodatni i malejący. Dla nieparzystego $n$ przejście do następnego wyrazu ciągu $(a_n)$ mnoży wartość przez $\frac34$, a dla parzystego — przez $\frac1{12}$, więc także $(a_n)$ jest dodatni i malejący. Tymczasem

$c_n=2+(-1)^n=1,3,1,3,\ldots,$

zatem $(c_n)$ nie jest monotoniczny.

Korzystamy z tożsamości

$a_n^2+b_n^2=(a_n+b_n)^2-2a_nb_n.$

Po podstawieniu danych warunków otrzymujemy

$$c_n=\left(2\sqrt{n+1}\right)^2-2n =4(n+1)-2n =2n+4.$$

Ponieważ $c_{n+1}-c_n=2>0$, ciąg $(c_n)$ jest rosnący.

Przekształcamy dany warunek:

$$(1-a_n)(1-b_n)+a_n=0,$$ $$1-b_n+a_nb_n=0,$$ $$b_n(a_n-1)=-1.$$

Ponieważ $a_n>1$, możemy podzielić przez $a_n-1$:

$b_n=-\frac1{a_n-1}.$

Ciąg $(a_n-1)$ jest dodatni i rosnący, więc $\left(\frac1{a_n-1}\right)$ jest malejący. Pomnożenie jego wyrazów przez $-1$ zmienia kierunek monotoniczności. Zatem $(b_n)$ jest rosnący.

Z opisów wykresów wynika

$a_n=n^2+4,\qquad b_n=kn+4.$

Zatem

$c_n=n^2-kn.$

Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:

$$c_{n+1}-c_n =(n+1)^2-k(n+1)-(n^2-kn) =2n+1-k.$$

Dla $n\geq1$ najmniejszą wartość wyrażenie to przyjmuje przy $n=1$. Warunek niemalejącego ciągu jest więc równoważny nierówności

$3-k\geq0,$

czyli $k\leq3$.

Porządkujemy zależność rekurencyjną:

$$(n+3)a_{n+1}=2na_n, \qquad a_{n+1}=\frac{2n}{n+3}a_n.$$

Dla $n=1$ oraz $a_2=1$ dostajemy $4a_2=2a_1$, więc $a_1=2$. Wszystkie wyrazy są dodatnie. Iloraz kolejnych wyrazów spełnia

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n}{n+3}.$$

Jest mniejszy od $1$ dla $n=1,2$, równy $1$ dla $n=3$ i większy od $1$ dla $n\geq4$. Ciąg najpierw maleje, następnie ma dwa równe kolejne wyrazy, a potem rośnie. Nie jest więc monotoniczny.

Odległość punktu $P_n=(n,\frac{12}{n})$ od początku układu jest równa

$$b_n=\sqrt{n^2+\frac{144}{n^2}}.$$

Porównujemy kwadraty kilku wyrazów:

$$b_1^2=145,\quad b_2^2=40,\quad b_3^2=25,\quad b_4^2=25,\quad b_5^2=25+\frac{144}{25}>25.$$

Dokładniej,

$$b_{n+1}^2-b_n^2 =(2n+1)\left(1-\frac{144}{n^2(n+1)^2}\right).$$

Różnica ta jest ujemna dla $n=1,2$, równa zeru dla $n=3$ i dodatnia dla $n\geq4$. Ciąg najpierw maleje, a później rośnie, więc nie jest monotoniczny.

Odległość od punktu $A=(0,12)$ ma postać

$$c_n=\sqrt{n^2+\left(12-\frac{12}{n}\right)^2}.$$

Dla $n\geq1$ obie nieujemne wielkości $n$ oraz $12-\frac{12}{n}$ rosną, przy czym pierwsza ściśle. Dlatego $c_n^2$, a więc także $c_n$, jest ciągiem rosnącym.

Odległość od prostej $y=10$ wynosi

$d_n=\left|\frac{12}{n}-10\right|.$

Mamy $d_1=2$ oraz dla $n\geq2$

$d_n=10-\frac{12}{n}.$

Ten wzór daje ciąg rosnący, a $d_2=4>d_1$. Zatem cały ciąg $(d_n)$ jest rosnący.

Z zależności rekurencyjnych, na przykład przez indukcję, otrzymujemy

$a_n=n^2+1,\qquad b_n=n^2+n.$

Stąd

$p_n=a_n-b_n=1-n,$

więc $(p_n)$ jest malejący.

Drugi ciąg ma wzór

$q_n=\frac{n(n+1)}{n^2+1}.$

Różnica kolejnych wyrazów wynosi

$$q_{n+1}-q_n =\frac{(n+1)(2-n)} {\big((n+1)^2+1\big)(n^2+1)}.$$

Jest dodatnia dla $n=1$, równa zeru dla $n=2$ i ujemna dla $n\geq3$. Ciąg $(q_n)$ najpierw rośnie, a potem maleje, zatem nie jest monotoniczny.

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny o ilorazie

$q=(\operatorname{tg}x)^2.$

Jego wyrazy są nieujemne. Jest ściśle rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy

$q>1,$

czyli $|\operatorname{tg}x|>1$. W każdym okresie tangensa zachodzi to na przedziałach

$$\left(\frac\pi4+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right) \cup \left(\frac\pi2+k\pi,\frac{3\pi}4+k\pi\right), \qquad k\in\mathbb Z.$$

Punkty $\frac\pi2+k\pi$ są wykluczone, ponieważ tangens nie jest tam określony.

Wyznaczamy wzór:

$$c_n=(1+k)n^2-(3+2k)n+1+2k.$$

Różnica kolejnych wyrazów jest równa

$$c_{n+1}-c_n=2(1+k)n-2-k.$$

Jeśli $k>-1$, ta różnica rośnie wraz z $n$. Aby była dodatnia dla każdego $n\geq1$, potrzeba i wystarcza

$c_2-c_1=k>0.$

Otrzymujemy więc $k>0$ i ciąg rosnący.

Jeśli $k\leq-1$, różnica nie rośnie, a jej największa wartość dla $n\geq1$ jest równa

$c_2-c_1=k<0.$

W tym przypadku ciąg jest malejący. Dla $-1<k\leq0$ różnica zmienia znak albo przyjmuje zero, więc ciąg nie jest rosnący ani malejący.