MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 148

Niech dla $k\geq 1$

$$a_{2k-1}=10^{k-1},\qquad a_{2k}=2\cdot 10^{k-1}.$$

Otrzymujemy ciąg

$$1,\ 2,\ 10,\ 20,\ 100,\ 200,\ldots$$

Każdy wyraz o numerze nieparzystym jest potęgą liczby $10$, więc suma jego cyfr wynosi $1$. Każdy wyraz o numerze parzystym ma jedyną niezerową cyfrę równą $2$, więc suma jego cyfr wynosi $2$.

Ponadto

$$10^{k-1}<2\cdot 10^{k-1}<10^k,$$

zatem każdy wyraz jest większy od poprzedniego.

Dla numeru parzystego mamy

$$a_{2n}=2n-\frac{1+(-1)^{2n}}2=2n-1.$$

Z kolei

$$a_{2n-1}=2n-1-\frac{1+(-1)^{2n-1}}2=2n-1,$$

więc

$a_{2n}-a_{2n-1}=0.$

Dla następnego wyrazu o numerze nieparzystym:

$$a_{2n+1}=2n+1-\frac{1+(-1)^{2n+1}}2=2n+1.$$

Stąd

$a_{2n+1}-a_{2n}=(2n+1)-(2n-1)=2>0.$

a) Skoro $(a_n)$ jest rosnący, to $a_{n+1}>a_n$. Po pomnożeniu nierówności przez $-1$ jej zwrot się zmienia:

$-a_{n+1}<-a_n,$

czyli $b_{n+1}<b_n$. Ciąg $(b_n)$ jest malejący.

b) Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są ujemne, więc $b_n=|a_n|=-a_n$. Z malejącego charakteru $(a_n)$ wynika $a_{n+1}<a_n$, a zatem

$-a_{n+1}>-a_n,$

czyli $b_{n+1}>b_n$. Ciąg $(b_n)$ jest rosnący.

c) Dodatniość wyrazów oraz nierówność $a_{n+1}>a_n$ pozwalają odwrócić obie strony:

$\frac1{a_{n+1}}<\frac1{a_n}.$

Jest to nierówność $b_{n+1}<b_n$, więc $(b_n)$ jest malejący.

W każdym podpunkcie wystarczy dobrać $(b_n)$ tak, aby iloczyn miał żądany charakter.

a) Dla $b_n=\frac1n$ otrzymujemy

$c_n=\frac1{n2^n}.$

Ponieważ $n2^n$ rośnie, ciąg $(c_n)$ jest malejący.

b) Dla $b_n=2^n$ mamy $c_n=1$, więc ciąg jest stały.

c) Dla $b_n=4^n$ mamy

$c_n=\frac{4^n}{2^n}=2^n,$

czyli ciąg rosnący.

d) Wybierzmy $b_n=2^n(2+(-1)^n)$. Wtedy

$c_n=2+(-1)^n,$

więc kolejne wartości to $1,3,1,3,\ldots$. Taki ciąg nie jest monotoniczny.

Z zależności rekurencyjnej kolejno dostajemy

$$a_3=-a_1=-1,\quad a_4=-a_2=-1,\quad a_5=-a_3=1,\quad a_6=-a_4=1.$$

Zatem sześć początkowych wyrazów to

$1,\ 1,\ -1,\ -1,\ 1,\ 1.$

Ponieważ każdy $a_n$ jest równy $1$ albo $-1$, różnica $a_{n+1}-a_n$ może być równa $-2$, $0$ lub $2$. Dlatego

$$c_{n+1}-c_n =a_{n+1}+2(n+1)-(a_n+2n) =a_{n+1}-a_n+2\geq 0.$$

Ciąg $(c_n)$ jest więc niemalejący.

Przekształcamy wzory:

$$a_n=2\left(\frac14\right)^n,\qquad b_n=4\left(\frac14\right)^n.$$

Oba ciągi są geometryczne o dodatnich wyrazach i ilorazie $\frac14\in(0,1)$, zatem są malejące.

Iloczyn ma postać

$$c_n=a_nb_n =2^{-2n+1}\cdot 2^{-2n+2} =2^{-4n+3}.$$

Jest to dodatni ciąg geometryczny o ilorazie $\frac1{16}$, więc jest malejący.

Natomiast

$$d_n=\frac{a_n}{b_n} =\frac{2^{-2n+1}}{2^{-2n+2}} =\frac12,$$

więc $(d_n)$ jest stały.

Ponieważ

$$\frac{4n-1}{4}\pi=n\pi-\frac\pi4,$$

otrzymujemy

$$a_n=\sin\left(n\pi-\frac\pi4\right) =(-1)^{n+1}\frac{\sqrt2}{2},$$

oraz

$$b_n=\cos\left(n\pi-\frac\pi4\right) =(-1)^n\frac{\sqrt2}{2}.$$

Wyrazy obu ciągów zmieniają znak naprzemiennie, więc żaden z nich nie jest monotoniczny.

Ich iloczyn jest równy

$$c_n=a_nb_n =(-1)^{2n+1}\frac12 =-\frac12.$$

Ciąg $(c_n)$ jest zatem stały, a więc monotoniczny.