MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 147

Sprowadzamy wyrażenia do wspólnych mianowników i podstawiamy wskazane indeksy.

Pierwszy wyraz sumy jest równy

$c_1=a_1+b_1=1.$

Dla każdego $n\geq1$ mamy

$$\begin{aligned} c_{n+1}&=a_{n+1}+b_{n+1}\\ &=(1-a_n)+(1-b_n)\\ &=2-c_n. \end{aligned}$$

Jeśli $c_n=1$, to $c_{n+1}=2-1=1$. Z indukcji $c_n=1$ dla każdego $n\geq1$. Ciąg jest więc stały, a zatem monotoniczny.

Badamy różnice kolejnych wyrazów. Dla $(a_n)$:

$a_{n+1}-a_n=2>0,$

więc ciąg jest rosnący. Dla $(b_n)$:

$$b_{n+1}-b_n=1+\frac1{n+1}-\frac1n =1-\frac1{n(n+1)}>0,$$

zatem także jest rosnący.

Mamy

$c_n=3n+1+\frac1n,$

więc

$c_{n+1}-c_n=3-\frac1{n(n+1)}>0.$

Natomiast

$d_n=-n-1+\frac1n$

i

$d_{n+1}-d_n=-1-\frac1{n(n+1)}<0.$

Najpierw upraszczamy wzory.

a)

$p_n=a_n+b_n+c_n=2n^2+2n+1,$

zatem $p_{n+1}-p_n=4n+4>0$.

b)

$q_n=a_n+b_n-c_n=4n^2-8n+1,$

więc $q_{n+1}-q_n=8n-4>0$ dla $n\geq1$.

c)

$r_n=a_n-b_n+c_n=-2n^2+2n-1,$

stąd $r_{n+1}-r_n=-4n<0$.

d)

$s_n=a_n-b_n-c_n=-8n-1,$

a więc $s_{n+1}-s_n=-8<0$.

Podstawa ma $n+2$ boków. Graniastosłup o podstawie $m$-kąta ma $2m$ wierzchołków, $3m$ krawędzi i $m+2$ ściany, więc tutaj

$w_n=2n+4,\qquad k_n=3n+6,\qquad s_n=n+4.$

Stąd

$p_n=\frac{n+4}{2n+4}=\frac12+\frac1{n+2}.$

Ponieważ

$p_{n+1}-p_n=-\frac1{(n+2)(n+3)}<0,$

ciąg $(p_n)$ jest malejący. Ponadto

$q_n=\frac{3n+6}{n+4}=3-\frac6{n+4},$

a zatem

$q_{n+1}-q_n=\frac6{(n+4)(n+5)}>0.$

Ciąg $(q_n)$ jest rosnący.

W każdym podpunkcie sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów.

a) Przyjmijmy $a_n=-n-1$ i $b_n=-2n$. Oba ciągi są malejące, gdyż ich różnice wynoszą odpowiednio $-1$ i $-2$. Tymczasem

$c_n=a_n-b_n=n-1,$

więc $(c_n)$ jest rosnący.

b) Przyjmijmy $a_n=-n$ i $b_n=-3n$. Są to ciągi malejące, a

$c_n=a_nb_n=3n^2.$

Różnica $c_{n+1}-c_n=3(2n+1)>0$, więc $(c_n)$ jest rosnący.

c) Przyjmijmy $a_n=-n^2$ i $b_n=-n$. Pierwszy ciąg ma różnicę $-(2n+1)<0$, a drugi różnicę $-1<0$, zatem oba są malejące. Jednocześnie

$c_n=\frac{a_n}{b_n}=n,$

czyli $(c_n)$ jest rosnący.

Przepisujemy pierwszy ciąg w postaci

$a_n=1+\frac tn.$

Różnica kolejnych wyrazów wynosi

$a_{n+1}-a_n=\frac{t}{n+1}-\frac tn=-\frac{t}{n(n+1)}.$

Jej znak jest przeciwny do znaku $t$. Zatem $(a_n)$ jest rosnący dla $t<0$, malejący dla $t>0$ i stały dla $t=0$.

Z definicji drugiego ciągu

$b_n=-\frac{t}{n(n+1)}.$

Obliczamy

$$b_{n+1}-b_n =-\frac{t}{(n+1)(n+2)}+\frac{t}{n(n+1)} =\frac{2t}{n(n+1)(n+2)}.$$

Ta różnica ma znak taki jak $t$. Wobec tego $(b_n)$ jest rosnący dla $t>0$, malejący dla $t<0$ i stały dla $t=0$.