MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 145

Liczymy kolejne wyrazy obu ciągów:

$$\begin{aligned} a_2&=3+t, & a_3&=9+4t, & a_4&=27+13t, & a_5&=81+40t,\\ b_2&=4+t, & b_3&=8+3t, & b_4&=16+7t, & b_5&=32+15t. \end{aligned}$$

Z warunku $a_5=b_5$ otrzymujemy

$81+40t=32+15t,$

więc $25t=-49$ i

$t=-\frac{49}{25}=-1{,}96.$

Suma przyrostów od pierwszego do $n$-tego wyrazu wynosi

$\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)=n(n-1)+(n-1)=n^2-1.$

Stąd

$a_n=x+1+n^2-1=x+n^2.$

a) Podstawiamy $a_6=x+36$, $a_7=x+49$ i $a_2=x+4$:

$2x+85=9x+36,$

zatem $x=7$.

b) Mamy $a_3=x+9$, $a_5=x+25$ i $a_4=x+16$, więc

$$(x+9)(x+25)=x+16+69.$$

Po uporządkowaniu:

$x^2+33x+140=0,$

czyli

$(x+28)(x+5)=0.$

Zatem $x=-28$ lub $x=-5$.

Wprowadzamy ciąg pomocniczy $b_n=a_n-1$. Wówczas

$b_1=-4$

oraz

$b_{n+1}=a_{n+1}-1=2a_n-2=2(a_n-1)=2b_n.$

Jest to ciąg geometryczny, zatem

$b_n=-4\cdot 2^{n-1}=-2^{n+1}.$

Wobec tego

$a_n=b_n+1=1-2^{n+1}<1$

dla każdego $n\geq1$. Żaden wyraz nie może więc być równy $1$.

Wykażemy indukcyjnie, że

$a_n=-n\sqrt2.$

Dla $n=1$ wzór daje $a_1=-\sqrt2$. Jeśli $a_n=-n\sqrt2$, to

$a_{n+1}=a_n-\sqrt2=-n\sqrt2-\sqrt2=-(n+1)\sqrt2.$

Wzór jest więc prawdziwy dla każdego $n\geq1$. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy

$a_n^2=2n^2.$

Liczba $n^2$ jest naturalna, a czynnik $2$ dowodzi, że $a_n^2$ jest parzystą liczbą naturalną.

a) Dopisanie jednej cyfry $2$ przed końcową jedynką przesuwa tę jedynkę o jedno miejsce w lewo, czyli mnoży poprzednią liczbę przez $10$, a następnie dopisuje $11$. Dlatego

$a_1=11,\qquad a_{n+1}=10a_n+11.$

Na przykład $10\cdot121+11=1221$.

b) Analogicznie mnożymy poprzedni wyraz przez $10$ i dopisujemy na końcu blok $111$:

$a_1=1221,\qquad a_{n+1}=10a_n+111.$

Rzeczywiście $10\cdot12321+111=123321$.

Zapisujemy warunek dla dwóch kolejnych indeksów:

$$\begin{aligned} a_n+a_{n+1}+a_{n+2}&=4,\\ a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}&=4. \end{aligned}$$

Po odjęciu równań dostajemy $a_{n+3}=a_n$. Ciąg jest więc okresowy z okresem $3$. Ponieważ

$a_5=a_2=6$

oraz $17=3\cdot5+2$, mamy

$a_{17}=a_2=6.$

Niech

$x_n=\frac1{a_n}.$

Ponieważ wszystkie wyrazy $(a_n)$ są niezerowe, jest to dobrze określony ciąg. Dana zależność przyjmuje postać

$2x_n=x_{n-1}+x_{n+1},$

czyli

$x_{n+1}-x_n=x_n-x_{n-1}.$

Ciąg $(x_n)$ jest arytmetyczny. Mamy $x_1=\frac12$ i $x_2=1$, zatem jego różnica wynosi $\frac12$ i

$x_n=\frac12+(n-1)\frac12=\frac n2.$

Wobec tego

$a_n=\frac2n,$

a więc $a_{100}=\frac2{100}=\frac1{50}$.