MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 144

a) Kolejne wyrazy to

$7, 10, 13, 16, 19, 22.$

Jest to ciąg arytmetyczny:

$a_n=7+3(n-1)=3n+4.$

Istotnie $a_1=7$ oraz $a_{n+1}=3(n+1)+4=a_n+3$.

b) Otrzymujemy

$5, \frac52, \frac54, \frac58, \frac5{16}, \frac5{32}.$

Wzór ogólny to

$a_n=5\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac5{2^{n-1}}.$

Spełnia on $a_1=5$ oraz $a_{n+1}=\frac12a_n$.

c) Sześć początkowych wyrazów jest równych $-10$. Proponujemy $a_n=-10$. Jeśli $a_{n-1}=a_n=-10$, to

$a_{n+1}=-10-10+10=-10,$

więc wzór jest prawdziwy indukcyjnie.

d) Kolejne wyrazy to

$2, 1, \frac12, \frac14, \frac18, \frac1{16}.$

Proponujemy $a_n=2^{2-n}$. Wtedy

$\frac{a_n^2}{a_{n-1}}=\frac{2^{4-2n}}{2^{3-n}}=2^{1-n}=a_{n+1},$

a dwa wyrazy początkowe także się zgadzają.

Korzystamy z rozkładu

$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}.$

Po zsumowaniu rekurencji od $1$ do $n-1$ składniki pośrednie się redukują:

=2-\left(1-\frac1n\right)=1+\frac1n.$$ Każdy wyraz jest większy od $1$. Do przedziału $(1;1+\frac1{100})$ należy wtedy i tylko wtedy, gdy $$\frac1n<\frac1{100},$$ czyli $n>100$. Dla $n=100$ wyraz jest równy prawemu końcowi otwartego przedziału, więc także do niego nie należy.

a) Ciąg jest arytmetyczny:

$a_n=-6+5(n-1)=5n-11.$

Równanie $5n-11=84$ daje $n=19$.

b) Ciąg jest geometryczny o ilorazie $-\frac12$:

$a_n=-8\left(-\frac12\right)^{n-1}.$

Warunek $a_n=\frac1{16}$ wymaga $n-1=7$, ponieważ

$-8\left(-\frac12\right)^7=\frac1{16}.$

Zatem $n=8$.

Dla ciągu $(a_n)$ obliczamy

$a_1=2,\quad a_2=4,\quad a_3=2,\quad a_4=4.$

Indukcyjnie wyrazy nieparzyste są równe $2$, a parzyste $4$. Dla ciągu $(b_n)$:

$b_1=4,\quad b_2=2,\quad b_3=4,\quad b_4=2,$

więc wyrazy nieparzyste są równe $4$, a parzyste $2$. Oba zbiory wartości są zatem równe $\{2,4\}$, ale już pierwsze wyrazy są różne: $a_1=2\neq4=b_1$. Ciągi nie są równe.